Сторінка
1

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Зміст

Ø Вступ

Ø Частина І. Лінійні моди коливань та їх поширення у одновимірному молекулярному ланцюжку

Ø Частина ІІ. Нелінійні моди. Поширення колективних збуджень з урахуванням взаємодії електрона з деформацією ланцюжка у довгохвильовому наближенні

o Уточнення моделі поширення збуджень у молекулярному ланцюжку. Фонони і квазічастинки

o Хвильова функція квазічастинки. Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів

o Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з акустичними фононами. Континуальна модель. Солітони як розв’язки нелінійного рівняння Шредінґера

o Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Континуальна модель. Зведення рівнянь до НРШ

Ø Частина ІІІ. Дослідження еволюції колективного збудження молекулярного ланцюжка із урахуванням взаємодії з айнштайнівськими оптичними фононами

o Чисельне інтеґрування рівнянь, що описують поширення квазічастинки у полі оптичних фононів. Підготування рівнянь до чисельного інтеґрування

o Початкові та граничні умови. Інтеґрування рівнянь методом Рунґе-Кутта

o Результати чисельних обчислень

Ø Висновки

Ø Посилання

Ø Додаток. Програма, що здійснює чисельне інтеґрування

o Програмне забезпечення, що використовувалось для запуску скрипта. Принцип роботи програми

o Програмний код файлу soliton.php

o Програмний код файлу soliton.php

Вступ

Великий клас молекулярних сполук з точки зору їх геометричної будови може бути модельовано низьковимірною молекулярною системою. Серед цих сполук існують такі, що являють собою одновимірні молекулярні ланцюжки. Науковий інтерес до них зріс останнім часом у зв’язку з широким їх застосуванням та ще більшими перспективами для молекулярної опто- та наноелектроніки. Особливий інтерес має місце до біологічних макромолекулярних структур, таких, як ДНК, білки та ін. Незважаючи на те, що вони мають досить складну геометричну та хімічну структуру, для дослідження певного класу явищ (таких, як їх оптичні та електропровідні властивості) їх можна моделювати одновимірними молекулярними ланцюжками.

Метою даної роботи є дослідження поширення колективних збуджень у білкових a-спіральних молекулах, але отримані результати можна поширити і на інші молекулярні сполуки, що відповідають описаній моделі.

Будемо вважати, що коливання відбуваються однаково у трьох ланцюжках білкової спіралі, і тому достатньо розглянути лише один такий ланцюжок. Кожен ланцюжок є послідовністю з’єднаних між собою амінокислот, внутрішню структуру яких ми не розглядаємо, уявивши натомість, що кожна амінокислота є окремою молекулою, і пептидний ланцюжок розглядатимемо як молекулярний, при чому для спрощення вважаємо, що всі молекули однакові і в початковий момент часу розташовані на однаковій відстані a (цю відстань називають сталою ґратки) одна від одної.

Частина І. Лінійні моди коливань та їх поширення у одновимірному молекулярному ланцюжку

Для початку розглянемо більш спрощену класичну модель поширення коливань у одновимірному ланцюжку, що утворилися внаслідок певного зовнішнього збурення. Ця модель докладно описана в [1].

Розглядатимемо наближення найближчих сусідів, тобто будемо вважати, що на кожну молекулу діють сили тільки збоку двох сусідніх (зліва і справа) молекул. Зміщення n-ї молекули з положення рівноваги позначимо un. При цьому виникають дві сили Fn, n+1 і Fn, n-1 відповідно. Вважаючи відносні зміщення (ui – ui-1) малими, можемо покласти ці сили квазіпружніми із деяким коефіцієнтом пружності w. Тоді повна сила F, що діє на n-у молекулу, дорівнюватиме:

Рівняння руху для цієї молекули має вигляд:

Знаходження загального розв’язку є досить складною процедурою, тому наразі будемо шукати частинний розв’язок при N ® ¥. У цьому випадку ланцюжок переходить сам у себе при зсуві на будь-яку цілу кількість періодів na. Очевидно, що розв’язок, який відповідає однаковим коливанням всіх молекул, при чому фаза кожної наступної змінюється на сталу величину по відношенню до попередньої молекули, задовільняє умови трансляційної симетрії і є розв’язком . Такий розв’язок описується пласкою монохроматичною хвилею:

При чому xn = na (n – ціле) набуває лише дискретних значень [1]. Оскільки хвиля поширюється тільки в N молекулах ланцюжка, то повинні виконуватись періодичні граничні умови (ланцюжок наче замкнений у кільце):

Підставляючи значення зміщень у це співвнідношення, отримаємо , звідки