Сторінка
6

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Така хвиля називається солітоном [8], оскільки характеризується локалізацією в певній обмеженій області і рухається зі сталою швидкістю, яка є меншою за швидкість звуку в суцільному середовищі і дорівнює .[9] Отже, за малих значень k, що допустимі в нашій моделі, швидкість солітона буде менша за швидкість звуку [2][3][7].

У роботах [4], [5], [8], [9] здійснено чисельне інтеґрування рівнянь -, що підтвердило справедливість континуальної моделі. Як виявилось, в такій моделі гранична швидкість руху солітона є меншою за швидкість звуку.

Нижче ми спробуємо більш детально здійснити аналогічні обчислення для оптичних фононів, отримати чисельними методами солітонні розв’язки та прослідкувати їх еволюцію в часі.

Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Континуальна модель. Зведення рівнянь до НРШ.

До цього ми розглядали рух квазічастинки в полі деформації ланцюжка, яка описується дисперсійним співвідношенням . При русі цієї частинки зі швидкістю, що менша за швидкість довгохвильового звуку, утворюються самотні[10] хвилі, які рухаються зі сталою швидкістю і мають незмінну форму. Як вже було зазначено, такі хвилі називають солітонами. Тепер ми розглянемо дещо інший випадок, коли більш суттєвою є взаємодія електрона з оптичними фононами, а акустичні коливання є малими порівняно з внутрішньомолекулярними, і тому першими нехтуємо. Ми будемо розглядати модель взаємодії електрона з бездисперсійними айнштайнівськими фононами[11] (модель Голстайна) [6][7], яка полягає в тому, що всі молекули вважаємо двохатомними і однаковими. Нехай дипольні моменти молекул будуть сталими або змінюватимуться незначно, тоді розглядатимемо тільки недипольні коливання із деякою частотою W0. Ці коливання характеризуються дисперсією , якою в даній моделі ми нехтуємо, вважаючи її незначною, поклавши v0=0.

Виведемо рівняння поширення збудження для цього випадку. Очевидно, що це будуть рівняння із гамільтоніаном , де Hac = Eac = 0. Так само, як і у випадку акустичних фононів, енергія квазічастинки матиме вигляд , а енергія взаємодії з оптичним фононом зміниться порівняно з так:

Константу взаємодії квазічастинки з оптичним фононом ми позначили copt, щоб відрізнити від відповідної константи для акустичних фононів. Роль відносного зміщення молекул un-un-1 тепер грає загальне зміщення un/a кожної молекули.

Гамільтоніан оптичного фонона має вигляд , а саме .

Звідси загальний гамільтоніан матиме вигляд:

Диференціюванням цього гамільтоніана по Yn* у другому рівнянні системи отримуємо перше шукане рівняння [6][7]:

Друге рівняння отримаємо так само, як ми свого часу отримували , підставивши гамільтоніан у друге рівняння системи :

Поділивши обидві частини на M, остаточно матимемо:

Рівняння - є шуканими і описують рух квазічастинки із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Їх точний аналітичний розв’язок невідомий, але, так само, як і рівняння -, в континуальному наближенні вони дають солітонні розв’язки. Щоб показати це, достатньо отримати нелінійне рівняння Шредінґера, розв’язок якого вже відомий. У наступному пункті буде здійснено чисельне дослідження рівнянь -, а зараз поки що перейдемо знову до неперервної моделі, використовуючи співвідношення . Тоді отримаємо:

У першому рівнянні виконаємо фазове перетворення аналогічно до того, як ми це робили для акустичних фононів, тобто замінимо , звідки отримаємо:

Друге рівняння перепишемо так:

Так само, як ми це робили раніше, введемо заміну . Тоді маємо:

Для отримання стаціонарних розв’язків системи - розглянемо випадок малих швидкостей, коли v2/W02 << 1. Тоді отримаємо

Позначимо . Тоді, підставивши значення u в , отримуємо нелінійне рівняння Шредінґера: