Сторінка
8
Нагадуємо, що всі наведені в таблиці величини є безрозмірними.
Дослід 1. g0=0,5. У початковий момент часу квадрат амплітуди хвильової функції має вигляд:
Графік 1. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n в початковий момент часу.
З графіків 2-6 у різні моменти часу бачимо, що врешті-решт хвиля “розсипається”, перетворюючись на гармонійну, тобто збудження делокалізується і рівномірно розподіляється по молекулах ланцюжка. Чому так відбувається?
Графік 2. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=0,8.
Графік 3. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=1,8.
Зрозуміло, що система врешті-решт мусить прийти до стану рівноваги, і гармонійні коливання – це тривіальний стаціонарний стан, який ми і отримали. На графіку 4 видно, як збудження перейшло з центру до країв, а потім (графіки 5-6) рівномірно поширилось на всі вузли одновимірної ґратки (молекули ланцюжка):
Графік 4. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=5.
Графік 5. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=15.
Графік 6. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=30.
Делокалізація відбувається приблизно в момент часу t=10 і вже при t=30 маємо практично стабільну монохроматичну хвилю. Подивимось, що станеться з нею далі:
Графік 7. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=50.
Графік 8. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 у залежності від n при t=100.
Бачимо, що хвиля є стабільною і стаціонарною, а, отже, цьому стану відповідає найменша енергія.
Дослід 2. g0=1,8. Збільшуючи значення параметра g0, дійшли такого самого результату, як і в попередньому досліді, тобто отримали стаціонарний стан у вигляді монохроматичної хвилі. На графіках 9-14 показано еволюцію початкового збудження та перетворення його у стоячу гармонійну хвилю. Тут ми прослідкуємо зміну не тільки квадрату амплітуди хвильової функції квазічастинки, а й зміну зміщення в часі. Початкове збудження задаємо таким самим, як і в першому досліді (графік 1). Спершу коливання майже не змінюються:
Графік 9. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=1.
Графік 10. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=2.
На графіках 10-11 бачимо, як хвиля поступово руйнується, а максимум збудження переходить від центру до країв і подвоюється:
Графік 11. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=5.
Нарешті, на графіках 12-15 спостерігаємо перехід хвилі у гармонійну:
Графік 12. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=11,1.
Графік 13. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія) та зміщення un (товста лінія) при t=30.
Графік 14. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=50.
Графік 15. Квадрат амплітуди хвильової функції |yn|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при t=100.
Бачимо, що кінцева хвиля є дещо ширшою й має іншу амплітуду, ніж та, що утворилася на графіку 8, оскільки має іншу фазу, проте також є стабільною і відповідає стану рівноваги системи.
Висновки
У цій роботі досліджувалось поширення колективних збуджень у одновимірному молекулярному ланцюжку, який є моделлю поліпептидного ланцюжка білкової a-спіральної молекули. Зокрема, розглядався рух “зайвого” електрона у полі деформації цього ланцюжка.
Було зроблено огляд двох моделей цього руху, перша з яких враховує взаємодію електрона із міжмолекулярними (акустичними) коливаннями, а друга – з внутрішньомолекулярними (оптичними). Показано, що таку систему у довгохвильовому наближенні можна описати нелінійним рівнянням Шредінґера, частинним розв’язком якого є локалізована хвиля , що отримала назву солітона.
Автором роботи було вперше чисельно проінтеґровано систему нелінійних диференційних рівнянь, що описують рух квазічастинки у полі недипольних бездисперсійних оптичних фононів. Всупереч континуальній моделі поки що не вдалося отримати локалізованих стаціонарних станів, натомість було отримано пласкі монохроматичні хвилі, що відповідають стану рівноваги системи. Причиною саме таких результатів можуть бути початкові умови, які в загальному випадку не мають призводити до локалізації, а також специфічний підбір параметрів, за яких енергія делокалізованого стану (гармонійних коливань) є мінімальною. На даному етапі відбувається підбір таких параметрів, що призвели б до утворення локалізованих станів або показали, що такі стани неможливі.
Завантажити реферат