Сторінка
4

Елементи логіки

Очевидно, що заперечення будь-якої тавтології є суперечністю, і навпаки. На відміну від тавтологій, підстановка висловлень у суперечності породжує хибні висловлення.

Тепер розглянемо поняття логічного висновку. У математиці, як і у звичайному житті, доводиться з'ясовувати, чи випливає деяке твердження з одного або кількох інших, тобто чи є це твердження їх логічним висновком.

Приклад. Припустимо, що купівельна спроможність грошей падає, якщо зростають податки, і що люди незадоволені, коли падає купівельна спроможність грошей. Припустимо також, що податки зростають. Звідси можна дійти висновку, що люди незадоволені.

Для цього позначимо висловлення літерами:

A – "податки зростають",

B – "купівельна спроможність грошей падає",

C – "люди незадоволені".

Припущення прикладу висловимо формулою:

(A®B)Ù(B®C)ÙA.

Доведемо, за істинності такої умови істинним буде висловлення C. Перетворимо (A®B)Ù(B®C)ÙA до ДНФ:

(A®B)Ù(B®C)ÙA º (ØAÚB)Ù(ØBÚC)ÙA º AÙ(ØAÚB)Ù(ØBÚC) º

º (AÙØA)Ù(AÙB)Ù(ØBÚC) º (AÙB)Ù(ØBÚC) º

º (AÙBÙØB)Ú(AÙBÙC) º AÙBÙC.

Отже, маємо, що істинною є формула AÙBÙC. Але вона істинна лише тоді, коли кожний співмножник істинний. Звідси висловлення C є істинним.

Таким чином, з істинності формул (A®B), (B®C) і A випливає істинність C. У такому випадку C називається логічним висновком цих формул.

Означення. Формула Y називається логічним висновком формул X1, X2, …, Xn, якщо з істинності X1ÙX2Ù…ÙXn випливає істинність формули Y. Формули X1, X2, …, Xn називаються засновками Y.

Перевірити, чи є одна формула логічним висновком інших, можна за допомогою порівняння таблиць істинності цієї формули та кон'юнкції інших. Але можна діяти зовсім іншим способом на основі двох наступних тверджень.

Теорема 1. Формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X1ÙX2Ù…ÙXn)®Y є тавтологією.

Доведення. 1 (Необхідність). Припустимо, що формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn. Якщо за деяких значень літер у формулах X1, X2, …, Xn хоча б одна з них хибна, то за означенням імплікації (X1ÙX2Ù…ÙXn)®Y істинна. Якщо ж за деяких значень літер у формулах X1, X2, …, Xn всі вони істинні, X1ÙX2Ù…ÙXn також істинна. Але формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn, тому вона також істинна. Тоді істинна і формула (X1ÙX2Ù…ÙXn)®Y. Отже, за будь-яких значень літер (X1ÙX2Ù…ÙXn)®Y істинна, тобто є тавтологією.

2 (Достатність). Припустимо, що (X1ÙX2Ù…ÙXn)®Y є тавтологією. Тоді якщо за якихось значень літер у формулах X1, X2, …, Xn всі вони істинні, то Y також істинна, тобто є їх логічним висновком.

Теорема 2. Формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X1ÙX2Ù…ÙXnÙØY) є суперечністю.

Доведення. За теоремою 1, формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X1ÙX2Ù…ÙXn)®Y є тавтологією. Звідси Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли заперечення Ø((X1ÙX2Ù…ÙXn)®Y)є суперечністю. Але

Ø((X1ÙX2Ù…ÙXn)®Y) º Ø(Ø(X1ÙX2Ù…ÙXn)ÚY) º

º Ø(Ø(X1ÙX2Ù…ÙXn))ÙØY º X1ÙX2Ù…ÙXnÙØY.

Таким чином, твердження теореми істинне.

Розглянемо приклад застосування наведених теорем. Доведемо, що формула B є логічним висновком формул A®B і A. Перетворимо формулу (A®B)ÙAÙØB:

(A®B)ÙAÙØB º (ØAÚB)ÙAÙØB º (ØAÙAÙØB)Ú(BÙAÙØB) º 0Ú0 º 0.

Отже, формула (A®B)ÙAÙØB суперечлива, і за теоремою 2 формула B є логічним висновком формул A®B і A.

Той факт, що формула B є логічним висновком формул A®B і A, відіграє в математиці дуже важливу роль. Він дозволяє з уже відомих істинних тверджень A®B і A одержати нове істинне твердження B. Зауважимо, що такий спосіб одержання, або виведення нових тверджень у математичній логіці є одним із основних. Таке виведення задається спеціальним правилом виведення, яке має вигляд і назву modus ponens (правило відокремлення). Воно дозволяє одержати висновок B твердження A®B як окреме висловлення, тобто відокремити його вид засновку A. У математичній логіці існують і інші правила виведення, але тут ми їх не розглядаємо.

Підіб'ємо невеличкий неформальний підсумок. Ми познайомилися з двома принципово різними способами одержання нових висловлень. Перший полягає в тому, що ми будуємо складні висловлення з простіших за допомогою логічних зв'язок, а також "перебудовуємо" їх, виконуючи рівносильні перетворення на основі законів. Описані способи побудови та перетворення висловлень складають основу алгебри висловлень.

Другий спосіб одержання нових істинних висловлень полягає в застосуванні згаданих правил виведення до вже відомих істинних висловлень. При цьому формулюється система висловлень-тавтологій, що складає основу для виведення інших. Вони називаються аксіомами, а висловлення, що виводяться, – теоремами. Прикладом аксіоми може служити висловлення AÚØA, яке називається законом виключеного третього. Такий спосіб породження висловлень називається численням висловлень.

Підкреслимо ще раз, що в цьому розділі нашою метою є лише знайомство з основними поняттями і мовою позначень логіки, тому ми не торкаємося її суттєвих питань. Вони розкриваються у багатьох джерелах (див. список рекомендованої літератури).

4. Неформальне знайомство з кванторами

У математиці, як і у повсякденному житті, виникають твердження зі специфічною структурою. Ця структура робить можливими міркування, які не можна відтворити виведенням висловлень. Класичним прикладом таких міркувань є: