Сторінка
2
Підставимо та у рівняння (12.38):
(12.42)
Оскільки - корінь характеристичного рівняння, а дискримінант дорівнює нулю (корінь кратний), то або Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на набуває вигляду . Його загальний розв’язок отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд Зокрема, якщо вибрати , розв’язок буде лінійно незалежним відносно :
Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд
(12.43)
Приклад 1. Розв’язати рівняння:
а) б) в)
У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд або Звідси маємо (випадок1).
Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція .
У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння Його корені – комплексно спряжені числа: (випадок 2). При цьому Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде
У прикладі в) корені і характеристичного рівняння збігаються: Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд
Приклад 2. Матеріальна точка маси рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.
Р о з в ‘ я з о к. Згідно з умовою сила, з якою притягується точка, подається у вигляді , де - коефіцієнт пропорційності, - відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки (- час)
.
Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді
(12.44)
Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння
причому Корені та - комплексно спряжені числа Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд
(12.45)
Знайдемо частинний розв’язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам .
Інші реферати на тему «Математика»:
Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних
Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші
Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури
Зведення визначників до визначника Вандермонда
Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями