Сторінка
3

Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа

г). Піднесення до цілого додатного степеня. Користуючись правилом множення комплексних чисел, легко довести методом повної математичної індукції, що

, (8.5)

тобто модуль підноситься до степеня, аргумент множиться на показник степеня. Формулу (8.5) називають формулою Муавра.

д). Добування кореня.

Нехай , де - невідомі дійсні числа, - дійсне ціле число. Піднісши обидві частини попередньої рівності до степеня і скориставшись формулою Муавра, одержуємо:

Звідси

або

Отже,

, (8.6)

де

Корінь - го степеня з комплексного числа має значень, які одержують з формули (8.6) послідовною підстановкою замість чисел

Приклади.

10. (символи і означають модуль і аргумент; будь-яке ціле число).

(символи і означають модуль і аргумент; – будь-яке ціле число);

при ).

20.

1.3. Показникова форма комплексного числа

Нехай Якщо і дійсні змінні, то називається комплексною змінною. Кожному значенню комплексної змінної на площині відповідає певна точка (рис.8.1).

Означення. Якщо кожному значенню комплексної змінної із деякої області комплексних значень відповідає певне значення іншої комплексної величини то є функція комплексної змінної і позначається

Тут ми розглянемо тільки одну функцію комплексної змінної – показникову функцію , або

Комплексні значення показникової функції визначаються так ( доцільність такого визначення показникової функції комплексної змінної, а також її властивості будуть показані в ч.2):

(8.7)

Якщо в (8.7) покласти то отримаємо

(8.8)

Формула (8.8) називається формулою Ейлера.

Замінюючи в формулі (8.8) на одержимо

(8.9)

Із рівностей (8.8) і (8.9) знайдемо і

(8.10)

Останніми формулами користуються, зокрема, при представленні степенів і та їх добутків через синуси і косинуси кратних дуг.

Із формули (8.8) маємо а тому формула (8.2) набуває вигляду

(8.11)

Формула (8.11) – це запис комплексного числа в показниковій формі.

На основі формул (8.3)-(8.6) можна легко проводити дії над комплексними числами в показниковій формі.

Нехай Тоді