Сторінка
5

Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої

Побудуємо в даній точці просторової кривої третій одиничний вектор , який дорівнює векторному добутку векторів та :

.

Вектор , так само як і , лежить в нормальній площині; його напрямок називають напрямком бінормалі просторової кривої в даній точці.

Три вектори та складають трійку взаємно перпендикулярних одиничних векторів, напрямок яких пов’язаний з вибором точки на просторовій кривій і змінюється від точки до точки. Ці три вектори утворюють тригранник, який називається супровідним тригранником (тригранник Френе) просторової кривих (рис. 7.8). Взаємна орієнтація векторів та - така сама, що і в координатних векторів .

Рис.7.8 Рис.7.9

Взяті попарно вектори визначають три площини, які проходять через дану точку просторової кривої і складають границі супровідного тригранника (рис. 7.9).

Площина, яка містить вектори та , називається нормальною площиною; площина, що містить вектори і, співдотичною площиною просторової кривої; площина, яка містить вектори та - її спрямною площиною.

4. Кручення просторової кривої.

Формули Серре-Френе

Співдотична площина просторової кривої при переміщенні вздовж кривої не залишається постійного напрямку; зміну її напрямку можна охарактеризувати зміною напрямку перпендикулярного до неї вектора - одиничного вектора бінормалі.

Зміна напрямку вектора характеризується вектором , який називають вектором другої кривизни або вектором кручення просторової кривої. Модуль цього вектора дорівнює границі відношення кута суміжностей бінормалей (кута, на який повертається бінормаль при переході від даної до сусідньої точки кривої) до довжини відповідної дуги кривої, коли довжина дуги прямує до нуля:

,

тобто швидкості обертання вектора при переміщенні точки по кривій. Знайдемо вектор .

Диференціюємо рівність :

.

Але , тому . Отже,

.

Звідси випливає, що є вектор, що перпендикулярний до вектора ( за означенням векторного добутку) і до вектора , як до одиничного вектора). Значить колінеарний вектору Позначивши довжину вектора через , тобто , будемо мати

(7.33)

Скалярний множник при в правій частині формули (7.33) називають крученням просторової кривої. д - кручення, радіус кручення.