Сторінка
3

Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої

.

Тоді, підставляючи значення у формулу (7.15), маємо

. (7.16)

Якщо крива задана в полярній системі координат рівнянням , то

. (7.17)

Величину, обернену до кривої в заданій точці, називають радіусом кривизни кривої і позначають через :

. (7.18)

Коло, яке з даною кривою має в даній точці спільну дотичну, спільну кривизну і однаковий напрямок вгнутості, називається колом кривизни, а його центр – центром кривизни кривої в даній точці. Радіус кола кривизни

.

Для всіх плоских кривих (за винятком кола) центри кривизни різні в різних точках кривої. Геометричне місце центрів кривизни даної кривої називається її еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти називається евольвентою.

7.5. Векторна функція скалярного аргументу

Простішим способом задання просторової кривої є задання її векторним рівнянням

, (7.19)

де - радіус – вектор точки кривої; - параметр, який визначає положення точки на кривій. Змінний вектор є функція скалярного аргументу ; такі функції в математичному аналізі називають векторними функціями скалярного аргументу.

Розкладемо вектор по осях координат. Рівняння просторової кривої (7.19) набуває вигляду

(7.20)

(- орти координатних осей). Звідси від векторного рівняння кривої можна перейти до її параметричного рівняння

. (7.21)

Це показує, що задання однієї векторної функції від скалярного аргументу рівнозначно заданню трьох скалярних функцій від того самого аргументу.

По відношенню до векторної функції (7.19), яка задає дану криву, сама крива називається годографом цієї векторної функції.

Розглянемо дві близькі точки кривої, заданої рівнянням (7.19): точку , відповідну значенню параметра , і точку , відповідну значенню параметра (рис.7.5).

Радіуси – вектори цих точок:

.

Вектор - називається приростом векторної функції , відповідним приросту її аргументу, і позначається

. (7.22)

Рис.7.7

Векторна функція - неперервна функція аргументу , якщо . Похідну від функції введемо так само, як у випадку скалярної функції: розділимо на і перейдемо до границі при ; якщо ця границя існує, то її назвемо похідною від векторної функції за аргументом :

. (7.23)

Установимо напрямок вектора . Зрозуміло, що вектор - колінеарний з вектором і при направлений в той самий бік, що і вектор , а при - в протилежний бік. У першому випадку , в другому - . Отже, вектор завжди направлений по січній годографа функції в бік зростання параметра .