Сторінка
2
.
Формула диференціала дуги просторової кривої
. (7.10)
Приклад. Знайти диференціал дуги гвинтової лінії:
.
Р о з в ’ я з о к. .
.
Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду :
(для плоскої кривої); (7.11
(для просторової кривої); (7.12)
Диференціал дуги плоскої кривої має такий геометричний зміст: він дорівнює довжині відрізка дотичної до кривої (рис.7.5).
2.Кривизна плоскої кривої
Вивчаючи ту чи іншу криву, бачимо, що в різних точках вона має неоднаковий ступінь викривлення. Так, парабола поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж коло великого радіуса.
Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною.
Візьмемо на кривій дві точки і
(рис. 7.6) і в цих точках проведемо дотичні прямі. Нехай дотична
утворює з додатним напрямом осі
кут
, а пряма
- кут
.
Довжину дуги позначимо . Модуль відношення
, де
- величина кута в радіанах, на який повертається дотична, коли точка
переміститься вздовж кривої в точку
, називається середньою кривизною дуги
.
Рис.7.6
Означення. Границя (якщо вона існує) середньої кривизни дуги даної кривої, коли точка наближається вздовж кривої до точки
, називається кривизною кривої в точці
і позначається
. (7.13)
Виведемо формулу для обчислення кривизни. Нехай крива задана в декартовій системі координат рівнянням
,
де функція на відрізку
має похідні до другого порядку включно.
Скористаємося формулою (7.13). Очевидно, що коли точка , то довжина дуги
. Тому формулу (7.13) можна
записати ще так:
. (7.14)
З другого боку, якщо - кут, утворений дотичною до кривої в точці
з додатним напрямом осі
, то
.
Звідси
.
Тоді
.
Підставляючи в формулу (7.14) значення і значення
, дістаємо формулу для кривини кривої:
. (7.15)
З цієї формули легко дістати формулу для кривизни кривої,
коли остання задана параметричними рівняннями . Справді,
,
Інші реферати на тему «Математика»:
Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і механічний зміст
Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Рівняння в повних диференціалах
Синтез систем з оптимізацією модальних регуляторів
Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів