Сторінка
3
Д о в е д е н н я. Позначимо різницю через
:
.
Тоді функція на проміжку
має похідну
:
.
Проте , тому
. Звідси випливає, що
або, що те саме,
.
6.12.3. Теорема Коші
Теорема. Нехай: 1) функції і
задані і неперервні на відрізку
; 2) диференційовані в інтервалі
; 3) похідна
всередині інтервалу
не дорівнює нулю. Тоді всередині інтегралу
знайдеться така точка
, що має місце рівність
. (6.75)
6.13. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя
Розглянемо невизначеність виду .
Теорема 1. Нехай для функцій і
виконуються умови:
1) функції визначені на півінтервалі і
;
2) в інтервалі диференційовані, причому
для всіх
;
3) існує (скінчена або нескінченна ) границя
.
Тоді існує границя відношення при
і ця границя дорівнює теж числу
, тобто
.
Висновок цієї теореми читають ще так: границя відношення функції дорівнює границі відношення похідних від цих функцій.
Наведену теорему називають першим правилом Лопіталя.
Зауваження 1. Може статися, що поряд з рівностями виконуються рівності
Нехай
тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:
Взагалі цей спосіб можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення яке має при
певну границю. Тоді
У цьому випадку кажуть, що правило Лопіталя використовується разів.
Зауваження 2. Теорема 1 при виконанні її умов справджується і тоді, коли точка є невласною, тобто
. У цьому випадку
Справді, застосувавши підстановку , маємо
Сформулюємо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття невизначеності виду
Теорема 2. Нехай для функцій і
виконуються умови:
1) функції визначені на півінтервалі і при цьому
2) функції диференційовані в інтервалі причому
3) існує ( скінчена або нескінченна) границя
Тоді
.
Зауваження 3. Крім невизначеностей є ще й інші невизначеності:
Проте всі вони зводяться до невизначеності
або
Інші реферати на тему «Математика»:
Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних
Графічний метод розв’язання задачі лінійного програмування. Основи аналізу моделі на чутливість
Системи диференціальних рівнянь
Синтез систем по оптимізації їх керованості
Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами