Сторінка
4

Варіаційні принципи теоретичної механіки

Інтегруючи частинами, знайдемо:

(19)

Доданок — тут дорівнює нулю в початковий і кінцевий моменти часу, бо , а (кінцеві точки траєкторій не варіюються).

Підставляючи (19) в (18), дістанемо:

(20)

За рівнянням Лагранжа підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю; тому δS = 0. Справедливість принципу доведена.

Якщо для функціонала S виконана умова δS = 0, то гово­рять, що значення S стаціонарне. Умова стаціонарності дії δS = 0 вичерпно виражає закон руху механічної системи. Справді, вище показано, що з рівнянь руху Лагранжа випливає рівність δS = 0. Але і, навпаки, з умови δS = 0 випливають рівняння Лагранжа. Так, з довільності δq слідує, що для всіх t підінтегральна функ­ція в (20) дорівнює нулю, тобто випливають рівняння Лагранжа.

Принцип стаціонарної дії Остроградського — Гамільтона інколи називають принципом найменшої (екстремальної) дії. З'ясуємо походження цього терміну.

2.2. Принцип екстремальної (найменшої) дії

Аналізуючи формулу (15), приходимо до висновку, що значення дії S було б для дійсного руху мінімальним, якби виконувались разом умови

δS=0 і δ2S=0 (21)

Справді, з формули (15) випливає, що при виконанні умов (21) ряд у правій частині (15) починається з другого до­данку і знак ΔS тоді такий самий, як і знак δ2S, тобто ΔS>0 для будь-яких уявних в розумінні Остроградського рухів.

Отже, дві умови (21) достатні для існування мінімуму дії S, тоді як умова стаціонарності ΔS = 0 є лише необхідною умовою мінімуму дії S.

Можна довести, що друга варіація дії за Остроградським є додатньою в тому випадку, коли величина проміжку часу руху не перевищує певної границі, окремої для кожного розглядува­ного руху.

Нагадаємо, що існування мінімуму дії означає: якщо порів­няти числові значення інтегралів дії S і S̃ – інтегралу дії для дійсного руху із значенням інтегралу дії для уявного кінематично можливого руху, то виявиться, що завжди S<S̃.

Нерівність S<S̃ виконується незалежно від вибору уявного руху. Потрібно тільки, щоб кінцеві положення А та В та час уявних рухів (t0, t1) не відрізнялись від них для дій­сного руху і щоб уявний рух був узгоджений з зв'язками.

Зміст принципу стаціонарної дії можна тлумачити ще й так:

дія S уявного руху (з числа допустимих) відрізняється від дії S для дійсного руху на нескінченно малу величину другого порядку, тоді як дія S̃ одного уявного руху відрізняється від дії для другого уявного руху на нескінченно малу пер­шого порядку.

На закінчення зробимо кілька загальних зауважень щодо переваг принципу Остроградського-Гамільтона порівняно з рівняннями руху системи, записаними в інших формах.

По-перше, рівняння (17) можна застосувати при якому завгодно способі вибору узагальнених координат системи. Вла­стивість дії S бути мінімальною для дійсного руху не залежить від того, в яких координатах ведуть обчислення інтеграла

По-друге, принцип Остроградського-Гамільтона виявляється справедливим і для систем з нескінченною множиною ступенів вільності.

Варіаційний принцип поширюється і на немеханічні фізичні процеси: теплові, електромагнітні і т. д.[8]

В основу теорії електромагнітного поля можна покласти варі­аційний принцип, який є узагальненням принципу Остроградського-Гамільтона, і потім можна вивести з нього як наслідок основні рівняння електродинаміки – так звані рівняння Максвелла. Це виведення рівнянь Максвелла цілком аналогічне до способу виведення рівнянь Лагранжа з принципу Остроградського-Гамільтона в механіці.

2.3. Принцип стаціонарної дії Ейлера-Лагранжа

2.3.1. Вихідні положення принципу.

Цей варіаційний принцип не має такої загальності, як принцип Остроградського-Гамільтона. Прин­цип Ейлера-Лагранжа відповідає рухові механічної системи з стаціонарними зв'язками в потенціальному силовому полі. За цих умов (система консервативна) існує інтеграл енергії

T+V=h. (22)

Нехай у момент часу t0 система пройшла через деяке поло­ження А в просторі, а в інший момент t1 – через положення В. Домовимось називати момент t0 і положення А початковими, а момент t1 і положення В — кінцевими.

Дійсний рух механічної системи порівнюватимемо з уявними її рухами, які повинні задовольняти такі три умови:

1) зв'язки системи не порушуються;

2) повна механічна енергія системи в будь-якому уявному русі незмінна протягом усього часу руху і дорівнює її значенню h у дійсному русі;

3) початкове й кінцеве положення механічної системи повинні бути одні й ті самі для всіх уявних рухів і саме такі, які є для дійсного руху.

Крім того, вважатимемо, що уявні рухи починаються одночасно і саме в той момент t0, в який починається дійсний рух з положення А. Кінцевий момент часу, в який система опи­ниться в положенні В, у дійсному русі дорівнює t1, а в уявних залежить від характеру руху і може відрізнятися від t1 на малу величину δt (додатню або від'ємну).

Дійсний рух системи з уявними порівнюють так, що розглядають лише ті уявні рухи, які нескінченно близькі (за координатами й швидкостями) до дійсного руху.

Уявні рухи механічної системи, що задовольняють всі ці вимоги, називатимемо можливими в розумінні Ейлера — Лагранжа.

Переконаємось на прикладі в тому, що моменти приходу механічної системи в кінцеве положення В справді залежать від вибору уявного руху.

Розглянемо рух однієї матеріальної точки в стаціонарному силовому полі з потенціальною функцією V(х,у,z). Оскільки уявний рух відбувається з дотриманням закону збереження енергії, то для уявного руху маємо:

звідки , (23)

де Ṽ — значення потенціальної енергії точки в уявному русі:

Ṽ=V(х̃, у̃, z̃)