Сторінка
2

Варіаційні принципи теоретичної механіки

1.1. Дійсний і уявні рухи для вільної матеріальної точки.

Нехай вільна матеріальна точка з масою т рухається під дією сили, що має силову функцію U (х, у, z, t). Проекції сили на осі координат дорівнюють:

Координати точки змінюються за певними законами:

x=x(f), y=y(t), z==z(t). (1)

Нехай рухома точка в момент t0 пройшла через положення А в просторі, а в інший момент t1 >t0—через положення В (рис. 1). Умовимось називати момент t0 і положення А почат­ковими, а момент t1 і положення В—кінцевими. Рівняння (1) изначають рух точки т, який відбувається в дійсності, тобто за законами природи. Цей рух точки називатимемо дійсним її рухом.

Рис. 1

Разом з дійсним рухом вільної матеріальної точки розглядатимемо нескінченну множину уявних її рухів, які повинні задо­вольняти такі умови:

1) кожний уявний рух по­чинається одночасно з дійсним рухом у момент t0 і закінчується також одночасно з дійсним рухом у момент t1;

2) кожний уявний рух починається з положення А, що є початковим для дійсного руху, і закінчується в положенні В, яке є кінцевим для дійсного руху.

Положення і швидкість точки в будь-якому з уявних рухів нехай відрізняються, відповідно, від положення і швидко­сті точки в її дійсному русі нескінченно мало в кожний момент часу.

Визначені переліченими вище ознаками уявні рухи є лише кінематично можливими, тоді як дійсний рух точки від­бувається насправді під дією сил заданого силового поля.

Отже, поряд з дійсним рухом вільної матеріальної точки, який відбувається між положеннями А і В за проміжок часу (t0, t1), розглядатимемо нескінченно близькі до дійсного можли­ві її рухи, які всі відбуваються між тими самими положеннями А та В, між якими відбувається дійсний рух, і за той самий проміжок часу (t0, t1).

Порівнювані з дійсним рухом уявні рухи вільної точки можна задати аналітичне так. Виберемо три довільні однозначні неперервні і диференційовані функції часу ξ1(t), ξ2(t), ξ3(t), нескінченно малий параметр ε і вважатимемо, що уявлюваний рух точки визначається координатами

, (2)

де час t змінюється від моменту t0 до моменту t1. Швидкість точки в уявлюваному русі визначається трьома похідними по часу від координат

(3)

Щоб уявний рух відбувався протягом того самого проміжку часу і між тими самими положеннями А та В, що й дійсний рух матеріальної точки, функції ξ1(t), ξ2(t), ξ3(t) треба піді­брати так, щоб вони перетворювались в нуль у початковий і кінцевий моменти часу, тобто приt = t0 іt =t1:

ξ1(t0)= ξ2(t0)= ξ3(t0)=0, ξ1(t1)= ξ2(t1)= ξ3(t1)=0 (4)

При аналітичному визначенні уявних рухів ми здійснили малу зміну виду функцій x(f), y(t), z(t), які описують дійсний рух. Ця зміна, яка полягає в переході від функцій x(t), y(t), z(t) до нових функцій

що нескінченно мало відрізняються від старих функцій, назива­ється варіюванням функцій x(t), y(t), z(t). Прирости функцій, що знаходяться в резуль­таті варіювання, позначаються символом δ і називаються варіаціями функцій:

(5)

Користуючись поняттям варіації, можна стверджувати: якщо дій­сний рух точки відбувається за законом x=x(t), y=y(t), z=z(t), то порівнювані з ним уявні кінематично можливі рухи відбуваються за законом

Оскільки вибір варіацій δх, δy, δz довільний, то існує нескінчен­на множина уявних кінематично можливих рухів точки між заданими її положеннями.

1.2. Дійсний і уявні рухи для невільної матеріальної точки.

У випадку невільної матеріальної точки сформульовані вище в п.1.1. умови, які визначають клас кінематично можливих уяв­них рухів, слід доповнити ще однією: уявний рух точки по­винен бути узгоджений з зв'язками, не повинен порушувати їх[5]. Тому всі попередні результати справедливі і для руху невільної матеріальної точки, якщо тільки в рівняннях ру­ху точки використано незалежні узагальнені координати, які позначимо q1, q2 (при одній ступені вільності матимемо лише одну координату q). У цьому випадку, якщо дійсний рух точки визначається незалежними координатами q1(t), q2(t) , то, ана­логічно до попереднього, уявний кінематично можливий її рух буде характеризуватись функціями