Сторінка
3

Варіаційні принципи теоретичної механіки

Варіації координат тут дорівнюють

У випадку однієї ступені вільності уявний рух визна­чається однією координатою. Варіація коор­динати дорівнює

1.3. Дійсний і уявні рухи для механічної системи.

Випа­док системи не відрізняється принципово від з'ясованого вище випадку однієї матеріальної точки. Нехай дійсний рух невіль­ної голономної механічної системи з п ступенями вільності ви­значається п незалежними координатами qk(t), (k=1, 2, ., п). Уявний кінематично можливий її рух визначатиметься варійованими координатами

, (6)

де ε — нескінченно малий параметр, a ξk(t)—довільні функції. Ці функції слід вибирати так, щоб вони перетворювались в нуль на кінцях часового інтервалу (t0, t1), протягом якого розгляда­ється рух системи. Варіації координат системи тут дорівнюють .

Отже, поряд з дійсним рухом механічної системи, який від­бувається між положеннями А і В за проміжок часу (t0, t1), розглядаються нескінченно близькі до дійсного кінематично можливі (уявні) її рухи, які всі відбуваються між тими самими положеннями А та В, між якими відбувається дійсний рух і за той самий проміжок часу (t0, t1) та узгоджені з зв'язками системи.

Уявні рухи, що задовольняють ці вимоги, називатимемо можливими в розумінні Остроградського.

Доведемо тепер властивість комутативності варіювання і диференціювання, яку будемо використовувати нижче при розгляді принципу. Перепишемо (6) у вигляді , і продиференціюємо по часу:

(7)

Але за своїм змістом ліва частина цієї рівності є варіацією функції , тобто це є. Отже, з (7) знаходимо

, (8)

що означає: операція диференціювання по незалежній змінній t і операція варіювання є комутативними.

1.4. Функція Лагранжа та її інтеграл у дійсному і уявному рухах.

Нехай при дійсному русі функція Лагранжа системи є L(q, ˙q, t), а в уявному вона дорівнює [6], де

Розкладаючи в ряд Тейлора, знайдемо

(9)

Головна, лінійна відносно e, частина приросту функції L називається першою варіацією цієї функції, вона позначається δL і дорівнює

Інші доданки ряду (9), які згруповано за степенями ε, нази­ваються, відповідно, другою, третьою і т. д. варіаціями функції L і позначаються так:

δ2L, δ3L, ., δkL, .

Функцію Лагранжа (9) для уявного руху можна подати тепер як ряд

(10)

Ми дістали формулу, яка визначає функцію Лагранжа для уявного руху через функцію Лагранжа й її варіації в дійсному русі точки.

Щоб встановити аналогічну формулу для інтеграла від функ­ції Лагранжа, помножимо ряд (10) на елементарний проміжок часу dt і проінтегруємо від моменту to до моменту t1. Матимемо:

(11)

Інтеграл

, (12)

аргументом якого є функція q(t), слід розглядати як фунаціонал[7].

У співвідношенні (11) інтеграл лівої частини рівності є функціонал, обчислений для довільного уявного руху. Перший інтеграл правої частини –той самий функціонал, обчис­лений для дійсного руху точки. Другий інтеграл правої частини у формулі (11) є головною, лінійною відносно δq (відносно ε) частиною приросту цього функціоналу.

Головна, лінійна, частина приросту функціоналу називається першою його варіацією і позначається δS або .

На підставі (11) і означення першої варіації функціоналу маємо:

, (13)

тобто операції інтегрування і варіювання комутативні (слід підкреслити, що доведена властивість справджується тільки за умови, що розглядаються уявні рухи у визначеному вище розумінні Остроградського, коли параметр t відіграє роль неза­лежної змінної).

Інші інтеграли правої частини формули (11) є послідовно так звані друга, третя і т. д. варіації функціоналу S, які позна­чаються так: δ2S, δ3S, . . Тому ряд (11) можна переписати у вигляді

(14)

або у вигляді приросту функціоналу

(15)

Розділ ІІ. Варіаційні принципи механіки

1.1 Принцип Остроградського-Гамільтона

Інтеграл із змінною верхньою границею

(16)

називається дією за Остроградським. Розмірність дії є Дж×с, тобто вона така сама, як розмірність сталої Планка h, що характеризує елементарний «квант дії».

Принцип Остроградського — Гамільтона формулюється так:

Дійсний рух механічної системи з голономними в'язями відрізняється від усіх інших порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Остроградського) рухів тим, що для дійсного руху системи варіація дії за Остроградським, яку обчислено для довільного фіксованого проміжку часу, дорівнює нулю.

Принцип Остроградського — Гамільтона математично подається рівністю

(17)

Для доведення обчислимо варіацію дії:

(18)