Сторінка
7

Варіаційні принципи теоретичної механіки

(d)

Надамо тепер віртуальні переміщення, при яких нитка не буде натягнута (вантажі залишають зв'язок): . Тоді

(e)

Отже, усі розглянуті зв'язки володіють однією загальною властивістю: робота, виконана їх реакціями на віртуальних переміщеннях, не від’ємна. Це дозволяє об'єднати фізично різні зв'язки в єдиний клас ідеальних зв'язків.

Зв'язки називаються ідеальними, якщо сума елементарних робіт, вироблених їхніми реакціями на віртуальних переміщеннях точок системи, не негативні:

(39)

Знак нерівності має місце при наданні точкам системи віртуальних переміщень, що звільняють ці точки від неутримуючих зв'язків. Якщо серед віртуальних переміщень немає таких, котрі звільняють точки системи від зв'язків, то знак нерівності в співвідношенні (39) зникає,

(40)

Співвідношення (39) чи (40) приймаємо як аналітичні визначення ідеальних зв'язків.

2.4.2. Принцип Д'аламбера — Лагранжа.

Користаючись аналітичним визначенням ідеальних зв'язків (39), доведемо принцип Д'аламбера — Лагранжа:

у кожен момент часу дійсний рух системи, яка підчиняється ідеальним зв'язкам, відрізняється від руху порівняння тим, що тільки для нього сума елементарних робіт активних сил і сил інерції на будь-яких віртуальних переміщеннях точок системи непозитивна.

Маємо систему n матеріальних точок M1, M2, ., Mn яка підчиняється ідеальним зв'язкам. На основі принципу Д'аламбера маємо для неї наступні рівності:

(а)

Надамо точкам системи віртуальні переміщення. Тоді на підставі рівностей (а) знаходимо

чи

(b)

Система підлегла ідеальним зв'язкам, тому тут останній доданок, відповідно до співвідношення (39), не невід’ємний. Рівність (b) приймає вигляд:

(41)

і виражає принцип Д'аламбера — Лагранжа.

Якщо умовитися розглядати тільки такі віртуальні переміщення, що залишають точки системи на зв'язках, одержимо загальне рівняння динаміки

Як наслідок з цього рівняння можна одержати диференціальні рівняння руху і загальні теореми динаміки. Цю особливість загального рівняння динаміки уперше відзначив Ж. Лагранж.

Методичне значення загального рівняння динаміки полягає в тому, що воно для більшості задач динаміки дозволяє визначити закон руху, не визначаючи реакції зв'язків. У разі потреби реакції зв'язків можна визначити на другому етапі, після визначення закону руху системи, застосовуючи, наприклад, принцип Д'Аламбера.

2.4.3. Принцип віртуальних переміщень (принцип Лагранжа).

Якщо система знаходиться в рівновазі, то сили інерції дорівнюють нулю:

Рівність (41) приймає вид

(42)

і виражає принцип віртуальних переміщень (принцип Лагранжа): положення рівноваги системи, яка підпорядкована ідеальним зв'язкам, відрізняється від суміжних положень, що допускаються зв'язкам і тому тільки для нього сума елементарних робіт активних сил, що діють на точки системи, на будь-яких віртуальних переміщеннях точок системи не позитивна.

Знак нерівності в співвідношенні (42) має місце в тому випадку, коли серед накладених зв'язків є неутримуючі, а серед віртуальних переміщень є переміщення, що звільняють точки системи від зв'язків. Якщо розглядати тільки такі віртуальні переміщення, що не звільняють точки системи від накладених зв'язків, то знак нерівності в співвідношенні (42) зникає й одержуємо загальне рівняння статики

(43)

Термін «загальне рівняння статики» обумовлений тим, що з нього можна одержати умови рівноваги вільного твердого тіла і всі віртуальні умови рівноваги системи тел.

Застосування загального рівняння статики (43) особливо ефективно при розгляді рівноваги системи тел. Ця ефективність обумовлена тим, що ліва частина рівняння (43) містить тільки активні сили, що дає віртуальність не складати рівняння, що містять реакції, що не підлягають визначенню. Якщо є сили тертя, то їх відносять до активних сил.

2.5. Оптико-механічна аналогія (принцип Мопертюї-Ферма)

Аналогію між механікою точки і теорією хвильового процесу простежимо на прикладі вільної матеріальної точки, що рухається в однорідному полі сили тяжіння.

Як узагальнені координати вибираємо декартові координати: q1 = χ, q2 = у, q3 = z. Відповідні ним узагальнені імпульси наступні: p1 = рx, р2= ру, р3 = рг. Точка вільна, тому узагальнена механічна енергія Н* дорівнює повній механічній енергії Ε == Т + Π. Направляючи декартову вісь Оz по вертикалі вгору, знаходимо