Сторінка
2

Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і механічний зміст

дотичної до кривої не існує. Так дотична до кривої в точці не існує, бо коли точка і знаходиться справа від , то січна наближається до прямої , а коли і знаходиться зліва, то січна наближається до прямої .

Розглянемо випадок, коли крива задана в декартовій системі координат рівнянням:

, (6.4)

де - неперервна функція на деякому проміжку .

Нехай графік цієї функції (крива ) має вигляд, зображений на рис.6.4. Візьмемо на кривій точку і застосуємо наведене вище означення дотичної до цієї кривої в точці . Для цього на кривій візьмемо точку . Позначимо її координати через (відповідно прирости і , вони можуть бути і від’ємними числами). Через точки і

Рис.6.4

проведемо січну і продовжимо її до перетину з віссю . Кут, який утворює січна з додатним напрямом осі , позначимо через . Тоді

. (6.5)

Нехай точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою . Тоді координати точки наближаються як завгодно близько відповідно до координат точки ,

Тобто

, . (6.6)

Із співвідношень (6.6) випливає, що і , якщо точка .

Нехай , тоді й (внаслідок неперервності функції , а отже, точка ). Припустимо, що розглядувана крива в точці має дотичну .

Нехай , Тоді точка наближається по кривій до злиття з точкою , а січна , обертаючись навколо точки , наближатися до свого граничного положення - прямої , яка згідно з припущенням, і є в цьому випадку дотичною до кривої в точці .

Продовжимо дотичну до перетину з віссю і позначимо кут, який утворює ця дотична з додатним напрямом осі через . Тоді кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . З другого боку, якщо , то кут прямує до кута .

Отже, внаслідок неперервності тангенса , проте . Тому приходимо до такого співвідношення:

. (6.7)

Ми довели: якщо крива , де - неперервна на проміжку функція, має в точці дотичну

, (6.8)

то кутовий коефіцієнт дотичної визначається співвідношенням

. (6.9)

Досить важливі задачі з механіки, фізики, геометрії можна розв’язувати за допомогою граничного переходу у відношенні при , тобто за допомогою границі

(6.10)

Тому доцільно вивчити цю границю, зокрема вказати способи її обчислення. При цьому треба величини і розглядати абстрактно, не вкладаючи в них конкретного змісту, тоді й границя (6.10) (в математиці називається похідною) буде абстрактною величиною.