Сторінка
6

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь

Приклади.

1. Знайти

Р о з в ’ я з о к. Розкрити невизначеність В цьому випадку поступають так: чисельник і знаменник ділять на (від цього дріб не змінюється ), а потім застосовують теореми про границі частки і суми. Наведемо повний запис обчислення границі:

2. Знайти

Р о з в ’ я з о к.

3. Знайти

Р о з в ’ я з о к.

Сказане про частку стосується й різниці двох нескінченно великих числових послідовностей. Якщо то різницю називають невизначеністю виду

Приклад. Знайти

Р о з в ’ я з о к. Тут маємо невизначеність виду Для її розкриття позбавляємося ірраціональності у чисельнику.

Матимемо

З аналогічним фактом ми зустрічаємось у випадку відношення двох нескінченно малих числових послідовностей. Якщо то частка від ділення може також поводити себе по – різному. Цю невизначеність називають невизначеністю виду Цю, а також й інші невизначеності розглянемо в наступних параграфах.

6. Границя монотонної числової послідовності

Основні теореми про границі дають змогу встановлювати та знаходити числове значення границі заданої числової послідовності за допомогою границь інших числових послідовностей, певним чином пов’язаних з розглядуваною. Проте в деяких випадках як теоретичного, так і практичного характеру не завжди можна використати ці теореми. Тому доводиться застосовувати інші способи, зокрема ознаки збіжності числових послідовностей.

Теорема 1. Якщо послідовність

(5.10)

є монотонно зростаюча (спадна) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.

5. Порівняння нескінченно малих величин

Іноді доводиться розглядати не одну, а декілька нескінченно малих функцій в даній точці. Такі функції порівнюють між собою за допомогою границі їх відношення. Знайти границю такого відношення за відомими теоремами про нескінченно малі і про границі не можна. Це не випадково. Відношення двох нескінченно малих, залежно від характеру зміни порівнюваних між собою нескінченно малих, може вести себе по-різному: воно може бути або величиною, що прямує до скінченої, відмінної від нуля границі, або величиною нескінченно малою, або нескінченно великою, або величиною, яка має границі.

Кожне із цих чотирьох випадків має свою назву. Нехай і є нескінченно малі функції в точці .

Означення.1. Якщо

,

то і в точці називаються нескінченно малими однакового порядку малості.

Приклади.

1. Нехай . При і

і прямують до нуля. Знайдемо

Отже, функції і є нескінченно малі однакового порядку малості в точці .

2. Нехай

і .