Сторінка
3
Космогонія Левкіппа і Демокріта поклала початок про нескінченність світів, розвиваючи ідею Анаксагора про молочний шлях (Чумацький шлях – прим. ред.), вони розглядали як скупчення зоряних систем. Інша, не менш важлива здогадка - це твердження про природно фізичне походження цих систем зі скупчення вихоротвірних атомних утворень.
Атомістичне і космологічне вчення Левкіппа і Демокріта являють собою механічне пояснення природних явищ. У цьому плані атомісти є продовжувачами вчень Фалеса, Анаксимандра, Анаксимена, Емпедокла.
Але вчення Демокріта уперше було глибоко продуманою механічною концепцією природи. Вона була не тільки продовженням ідей перших натурфілософів і ранньої піфагорійської математики та фізики, але логічної системи елейської школи Парменіда-Зенона. Замість піфагорійського поняття числа Демокріт вибрав фізичний елемент - атом.
У будь-яких природничо-наукових побудовах атомістів необхідні математичні розрахунки і висновки, тому вони не могли залишити без уваги і математику. Вони повинні були розробити математичну конструкцію, користуватися математичними об'єктами, які, так само як і фізичні, побудовані з математичних атомів і пустоти. Їх математичний атомізм виходив з піфагорійської дискретної арифметики.
Аристотель в "Фізиці" говорить: "Вони (Левкіпп і Демокріт - К.У.) стверджують, що первинні величини за числом нескінченні, за величиною неподільні, з одного не виникає багато, з багато чого - одного, але все породжується шляхом їх поєднання і "переплетення" [8, 352]. Певною мірою атомізм Демокріта Аристотель порівнює з математичним атомізмом піфагорійців. "У певному значенні ці [філософи] також вважають всі речі числами і що складаються з чисел: хоч вони і не кажуть цього певно, але значення їх слів саме таке" [Там же].
Але в чому ж схожість фізичного атомізму Демокріта з математичним атомізмом піфагорійців? У їх нескінченності. Фізичних атомів Демокріта нескінченна безліч, враховуючи нескінченність у відмінності їх конфігурацій і нескінченна безліч піфагорійських чисел, отже, їх схожість в нескінченному їх числі.
Атомістичну концепцію Демокріт прагне розповсюдити і на математичні тіла: піраміду, конус, кулю, які, на його думку, складаються з паралельних площин, відділених один від одного прошарком пустоти, товщиною в атомну величину. Так, якщо конус розітнути площинами, паралельними основі, то отримаємо велику кількість кругів, паралельних основі конуса, в порядку зменшення їх радіусів, якщо слідувати до вершини конуса. Аналогічно між кругами конуса вийдуть і прошарки пустого простору. Отримані круги перетинів можна розглядати як площини, що складаються з ліній, а лінії – такі, що складаються з точок - атомів, які не піддаються ні механічному, ні уявному розподілу. Аналогічному поділу Демокріт піддавав піраміду, кулю й інші геометричні тіла. Ця атомістична концепція Демокріта відповідала побудові не тільки фізичних тіл і встановлювала відповідність між фізичними і математичними тілами, але вирішувала багато внутрішніх математичних проблем. Вона усувала протиріччя, пов'язані з апоріями Зенона Елейського. Згідно з апорією Зенона "Дихотомія", відрізок і будь-який геометричний об'єкт можна ділити до нескінченності; а нескінченне велике число елементів, якщо вони навіть мають малу величину, дають нескінченно велику суму. Ці положення в древньогрецькій математиці приймалися у Стародавній Греції як аксіоми, хоч друге є помилковим. Як відомо, це положення в цей час являє собою суму числового ряду, який може бути таким, що тільки сходиться при нескінченному розподілі пополам, оскільки отримуємо суму геометричного ряду (суму членів нескінченно зменшуваної геометричної прогресії). Прийнявши положення нескінченної подільності, Зенон приводив математичні міркування і висновки до суперечності. Враховуючи ці протиріччя, Зенон прийшов до висновку або, швидше, до захисту тези Парменіда, що світ - єдине ціле, він неподільний на частини. Але, прийнявши ці положення, Зенон приводить до суперечності.
Якщо відрізок прямої або тіло прийняти такими, що складаються з непротяжних точок, то, якою б великою не була ця кількість, їх сума дорівнюватиме нулю. Але якщо при поділі відрізка отримаємо нескінченну безліч протяжних, хоч і дуже малих, то їх сума буде нескінченно великою величиною. Ці крайні положення подільності приводили Зенона до висновку, що в математиці з'явилися нерозв'язні протиріччя, напрошувався один єдиний висновок, що поділ неможливий, тіла неподільні.
На противагу теорії нескінченної подільності елейців Парменіда-Зенона і існування нескінченно малої величини Анаксагора виступили атомісти Левкіпп і Демокріт, які стверджували, що подільність тіла не можна вести до нескінченності, поділ має межу, яка дорівнює неподільному атому. Тому будь-яке тіло складається з великого, але обмеженого числа найдрібніших частинок атомів, які мають малу, але не нульову величину. Тому при складанні обмеженого числа відрізків не можемо отримати нескінченно велике число. А з іншого боку, ця сума не може перетворюватися в нуль, оскільки кожний доданок отриманої суми являє ненульову величину.
Демокріт написав ряд робіт з математики: "Про відмінність між (законнонародженою і незаконнонародженою) думкою, або Про торкання круга і кулі", "Про несумірні лінії і тіла", "Геометрія", але жодна з цих робіт до нас не дійшла. Судячи з літератури про Демокріта і його атомістичного методу, можна зробити висновок, що Демокріт прагнув побудувати природну науку і математику, позбавлену протиріч, які пов'язані з нескінченною подільністю, випливають з апорій Зенона. Так при поділі конуса паралельними площинами він отримував площини товщиною з атом і проміжки між ними такої ж величини. На таку ідею складання пірамід і конусів з окремих шарів, очевидно, наштовхнули на думку Демокріта єгипетські піраміди, які побудовані таким чином з блоків. Але їх грані і ребра мають ступінчастий вигляд і не можуть представляти гладких прямих і площин. Першим опонентом Демокріта виступив Хрістіпп. Згідно з Плутархом, куля являє собою многогранник з великим, але кінцевим числом граней, гранями цього многогранника є основи піраміди з вершиною в центрі кулі. За первинну стереометричну фігуру Демокріт вибрав піраміду, враховуючи її всепроникні властивості, з природних речовин він поставив їй у відповідність вогонь, який має аналогічні властивості в природі.
Але куля, конус, піраміда виявляються складеними з площин. Наведемо аргументи Хрістіппа, згідно з коментарями С.Я.Лурьє: "…Подивимося ще, як відповів Хрістіпп Демокріту, який як дотепний дослідник висунув наступне важке питання: якщо конус буде (багато разів) розтинатися площиною паралельно основі, то як слід уявити собі поверхні перетину: чи будуть вони рівними або нерівними? Якщо вони не рівні між собою, то конус виявиться не гладким, оскільки його поверхня отримає безліч ступінчастих вибоїн і нерівностей. Якщо ж вони рівні між собою, то і самі перетини будуть рівні між собою і виявиться, що конус набуває характерних властивостей циліндра, оскільки він буде складатися з рівних, а не нерівних кругів, а це повний абсурд" [7, 88].
Завантажити реферат