Сторінка
4
Якщо міркувати так, як міркує Хрістіпп і йому подібні, дійсно виходить абсурд. Але при такому перетині піраміди або конуса площиною необхідно враховувати, що перетин проводиться не по атомних шарах, а по пустих просторах, і отримані в перетині круги-площини мають радіуси різної величини, тому ці перетини мають різну величину, що зменшується від основи до вершини. Якщо скласти ці круги в конус, починаючи від основи до вершини без пустого простору, то дійсно отримаємо ступінчасту фігуру, але Демокріт передбачає між атомними шарами шари і з пустого простору, хоч і ця конструкція в спрощеному вигляді являє фізичне тіло, оскільки в фізичному тілі атоми перебуває в безперервному хаотичному русі.
За рахунок пустого простору відбувається "згладжування" бічної поверхні конуса або піраміди. Цей пустий простір грає роль "цементуючого" розчину, що з'єднує атомарні шари конуса. Такі міркування не приведуть до суперечності, а побудують реальну модель геометричної фігури, побудованої за атомістичною системою.
Аналогічні міркування можна провести і відносно подільності відрізка навпіл для випадку непарного числа атомів у відрізку, несумірних величин і відрізків та інших випадків. Так, якщо поставлено перед нами завдання поділу відрізка пополам, з урахуванням його атомістичної структури, то, виходячи з фізичного атомізму Демокріта, необхідно враховувати, що атоми перебувають в безперервному русі і поділ відрізка з парним або непарним числом атомів буде відбуватися не по атому, а по пустоті, при цьому в отриманих половинках відрізка може бути різне число атомів, такий процес можна продовжити до нескінченності.
Якщо провести такого роду міркування, то можна зазначити, що у відрізка немає кінців, оскільки нам доводиться фіксувати кінці відрізка по рухомих атомах або пустоті. Це, звичайно, фізичний атомізм, але математична конструкція повинна відображати фізичну реальність. "Наявність математичного атомізму у Демокріта відмітив Е.Франк в 1928 р…" - пише С.Я.Лурьє [9, 8]. Більшість же дослідників схильні вважати його теорію фізичним атомізмом.
Важко судити про математичний атомізм Демокріта, не маючи його творів, всі думки проводяться аналогічно з його фізичним атомізмом. Так, якщо розглянути приклад проведення дотичної до кола, то геометрично ми не зможемо побудувати такої дотичної до кола, яка мала б з нею одну спільну точку, ми можемо уявити це собі умоглядно. Але, з іншого боку, якщо уявити дотичну як пряму, що складається з неподільних точок і проміжків пустоти між ними, і коло, як лінію що так само складається з точок і пустоти, то дотична і коло можуть мати спільну частину по пустотах, тобто вони не будуть мати спільної точки; другий варіант: неподільна точка дотичної співпадає з пустотою кола або точка кола співпадає з пустотою дотичної; і останній варіант: точка дотичної співпадає з точкою кола, що є недопустимою накладкою. Якщо атом дотичної співпадає з атомом кола, то в цьому випадку маємо зіткнення атомів, в результаті чого приходимо до одного з попередніх трьох випадків.
Третій аргумент, що наводиться проти математики атомістів, пов'язаний з поняттям несумірності, ірраціональними величинами. У всій літературі, присвяченій аналізу атомістичної математики Демокріта, чомусь здійснюється арифметичний підрахунок кількості неподільних точок-атомів в одному й другому відрізку, не враховуючи проміжків між ними, і береться відношення кількості атомів одного відрізка до другого (відношення діагоналі квадрата до його сторони, або навпаки), і отримують раціональне число у вигляді , раціональне число для несумірних відрізків. Нам здається, що це неправильний підхід. Не маючи під рукою роботи Демокріта "Про несумірні лінії і тіла" неможливо робити такі висновки. Треба вважати, що Демокріт в цій роботі приділив увагу як дискретним, так і континуальним питанням і проблемам, що виникають між ними. До часу Демокріта теорема Піфагора вже була доведена в загальному вигляді, і проблема дискретності та безперервності була гостро поставлена. Демокріт не міг пройти повз неї, тому проблемі несумірності спеціально була присвячена робота "Про несумірні лінії і тіла", в якій, на наш погляд, при аналізі несумірних ліній і тіл враховувалося не тільки число атомів у відрізках і тілах, але і пусті проміжки між ними. Якщо враховувати, що відрізок складається з "атомів" і "пустоти", то зберігається і поняття континуальності і несумірності та нескінченної подільності і інші положення математики; і атомістична теорія не буде вступати в суперечність з математикою та іншими положеннями здорового глузду.
Як було відмічено раніше, атомістична теорія Левкіппа-Демокріта була побудована на противагу елейській теорії Парменіда-Зенона. Якщо елейці применшували роль почуттєвих джерел пізнання, що було згодом основою скептицизму і деяких шкіл софістів, то атомісти визнавали відмінність між почуттєвим і умоглядним пізнанням, вважаючи почуттєве первинним, початковою формою пізнання, а інтелектуальне, умоглядна форма не протилежна почуттєвому, вона повинна поглибити, уточнити почуттєві методи пізнання, "…атомісти бачать в пізнанні за допомогою розуму не протилежність почуттєвим сприйняттям, - говорить В.Ф.Асмус, - а їх продовження і поглиблення, уточнення. Достовірність інтелектуального пізнання має джерело в цьому ж почуттєвому сприйнятті" [6, 111].
Атомістична теорія - це подальша раціоналізація на шляху звільнення філософського і наукового мислення від міфологічних уявлень.
Треба вважати, що атомістична математика Демокріта являє собою "грубу" конструкцію реально існуючих фізичних речей, і в цій атомістичній математиці не виконувалися всі вимоги класичної математики, де не було розроблене поняття граничного переходу, знаходження межі функції і інші положення. Мислителі того часу інтуїтивно підходили до цих положень, вдаючись в крайності і вивчаючи проблеми дискретної і континуальної математики окремо, а там, де вони перетиналися в своїх дослідженнях, виходили різного роду проблеми, казуси.
Над проблемами неправильних ліній працював Архіт Тарентський (428-365 до н.е.), його учень Евдокс Кнідський (408-355 до н.е.) розробив теорію пропорцій і метод вичерпання, в якому відрізки розглядаються як величини, що безперервно змінюються. Проблемами ірраціональних величин займався Теетет Афінський (410-368 до н.е.), наочним прикладом є математичні побудови і дослідження Архімеда. Його методи безпосередньо випливають з атомістичних методів Демокріта. У Архімеда методи Демокріта досягли більшої досконалості. Демокріт сам зазначав, що є два методи пізнання: один "істинний", інший - "темний". Під "істинним" він розумів умоглядні побудови це конструкції розуму; під "темним" - пізнання за допомогою відчуттів. Але, враховуючи, що наші органи почуттів не в змозі глибоко пізнати суть речей, на зміну "темному" методу повинен прийти умоглядний метод. Користуючись методом Демокріта, Евдокса, суворими доказами Евкліда, Архімед досяг видатних успіхів у галузі математики круглих тіл.
Завантажити реферат