Сторінка
2

Моделі поведінки виробників

Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всі види ресурсів, тобто , то умови (1.4) матимуть вигляд: (1.5)

Або

Тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його ціні.

Такий самий (за формулою) розв’язок має задача на максимум випуску за заданого обсягу витрат (1.6)

Це задача нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням і умовою невід’ємності змінних.

Побудуємо функцію Лагранжа:

Тепер максимізуємо її за умови невід’ємності змінних .

Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:

(1.7)

Як бачимо умови (1.7) цілком збігаються з (1.4), якщо покласти .

Приклад 1: випуск продукції фірми задається виробничою функцією Кобба-Дугласа:

Визначимо максимальний випуск, якщо на оренду фондів і оплату праці виділено 150 грош. од., вартість оренди одиниці фондів грошових одиниць, ставка зарплати грошових од./люд.

Якою буде гранична норма заміни одного зайнятого фондами в оптимальній точці?

Розв’язання: оскільки F(0,L)=L(K,0)=0, то в оптимальному розв’язку , тому умови (1.7) наберуть вигляду: (1.8)

або у нашому випадку:

поділивши перше рівняння на друге, маємо:

підставивши цей вираз в умову:

знайдемо

Розв’язання можна проілюструвати геометрично. На рис 1.1 зображені ізокости (лінії постійних витрат для С=50, 100, 150) та ізокванти (лінії постійних випусків для Х=25,2;37,8).

5К+10L=C=const.

Ізокванти –

В оптимальній точці ізокванта та ізокоста С=150, що проходять через цю точку, дотикаються, бо згідно з (1.8) нормі до цих кривих, задані градієнтами колінеарні.

Норма заміщення праці фондами в оптимальній точці:

тобто один працюючий може бути замінений двома одиницями фондів.

Розв’язуючи задачу моделі фірми (1.3) на максимум прибутку, знаходимо єдиний оптимальний набір ресурсів (розглядається випадок, коли всі ресурси входять до набору). Цьому набору відповідає єдине значення витрат: .

Розв’язуємо задачу моделі фірми (1.6) на максимум прибутку за заданих витрат . Якщо F(x) – неокласична, то в оптимальному розв’язку причому цей розв’язок єдиний.

Таким чином, з одного боку,

,

а з іншого

Оскільки

та

то

але тому

Через те що розв’язок задачі (1.3) єдиний, то .

Отже, якщо задача на максимальний прибуток має єдиний розв’язок то їй відповідає задача на максимальний випуск за заданих витрат , причому остання має такий самий розв’язок, як і перша(див. Рис 1.1): .

Геометричне місце точок дотику ізокост та ізоквант за різних значень витрат С визначає довготерміновий шлях розвитку фірми Х(С), тобто показує, як зростатиме (спадатиме) випуск, якщо витрати зростуть (зменшаться). Оскільки ця залежність монотонна, то існує обернена монотонна функція витрат С=С(Х).

Оскільки Х(С) – максимальний випуск за заданих витрат С, то витрати С(Х), які відповідають цьому максимальному випуску знову ж визначається за умови максимального прибутку:

(1.9)

Прирівнюючи похідну до нуля