Сторінка
3

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Доведення. Оскільки члени послідовності

є неперервними функціями змінних і , а стала не залежить від , то послідовність збігається до рівномірно по. І, як випливає з математичного аналізу, якщо послідовність неперервних функцій збігається рівномірно, то вона збігається до неперервної функції, тобто - функція, неперервна по .

Теорема (про неперервну залежність від початкових умов). Нехай виконані умови теореми про існування та єдиність розв’язків рівняння

з початковими умовами . Тоді, розв’язки, що записані у формі Коші, неперервно залежать від початкових умов.

Доведення. Роблячи заміну одержимо диференціальне рівняння з нульовими початковими умовами. На підставі попередньої теореми маємо неперервну залежність розв’язків від як від параметрів.

Теорема (про диференційованість розв’язків). Якщо в околі точки функція має неперервні змішані похідні до -го порядку, то розв’язок рівняння

з початковими умовами в деякому околі точки буде - раз неперервно диференційований.

Доведення. Підставивши в рівняння, одержимо тотожність

,

яку можна диференціювати

.

Якщо , то праворуч функція неперервно диференційована. Продиференціюємо її ще раз

,

або

Проробивши це -разів, отримаємо твердження теореми.

Розглянемо диференціальне рівняння, не розв’язане відносно похідної .

Нехай - точка на площині. Підставивши її в рівняння, одержимо відносно алгебраїчне рівняння

.

Це рівняння має корені . Задача Коші для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, ставиться в такий спосіб. Потрібно знайти розв’язок рівняння , що задовольняє умовам , де - довільні значення, а - один з вибраних наперед коренів алгебраїчного рівняння .

Теорема (існування й єдиність розв’язку задачі Коші рівняння, не розв’язаного відносно похідної). Нехай у замкненому околі точки функція задовольняє умовам:

1) - неперервна по всіх аргументах;

2) існує і відмінна від нуля;

3) .

Тоді при, де - досить мало, існує єдиний розв’язок рівняння, що задовольняє початковій умові.

Доведення. Як випливає з математичного аналізу відповідно до теореми про неявну функцію можна стверджувати, що умови 1) і 2) гарантують існування єдиної неперервної в околі точки функції , обумовленої рівнянням , для якої . Перевіримо, чи задовольняє умові Ліпшиця чи більш грубій . Диференціюємо по . Оскільки , то одержуємо