Сторінка
2

Метод виділення лінійних множників

D= D(x) = -10×(x2-4)(x2-1).

У деяких випадках корені многочлена D= D(x) можна знайти, користуючись перетвореннями визначника.

Приклад 14. Обчислити визначник

D= .

Розв’язування. Визначник є многочленом від змінної x, тобто D= D(x). Добуток елементів побічної діагоналі дорівнює x4. Оскільки порядок визначника дорівнює 4, а всі його елементи є многочленами від x степеня 1 або 0, то добутків, які є многочленами від x степеня, більшого 4, не існує, а тому визначник D= D(x) є многочленом від x степеня 4. Для знаходження коренів цього многочлена додамо до першого стовпчика визначника суму всіх інших стовпчиків. Одержуємо

D= .

Зрозуміло, що при = 0, тобто при x = -a-b-c, перший стовпчик визначника нульовий, а тому D= 0. Це означає, що x1 = -a-b-c – корінь многочлена D(x). Далі повернемось до початкового визначника, додамо до першого стовпчика другій стовпчик і віднімемо суму третього і четвертого:

D= .

Зрозуміло, що при a+b-c-x=0, тобто при x = a+b-c, визначник дорівнює 0, тому x2 = a+b-c – корінь многочлена D(x). Далі, аналогічно, у початковому визначнику до першого стовпчика додамо третій і віднімемо суму другого та четвертого:

D= .

При a+c-b-x = 0, тобто x=a+c-b, перший стовпчик нульовий, а тому D= 0. Це означає, що x3=a+c-b – корінь D(x). Нарешті до першого стовпчика початкового визначника додамо четвертий і віднімемо суму другого та третього

D= .

При b+c-a-x = 0, тобто x=b+c-a, перший стовпчик нульовий, а тому D= 0. Звідси x4=b+c-a – корінь D(x).

Таким чином, для многочлена D(x) степеня 4одержано 4 кореня: x1 = -a-b-c, x2 = a+b-c, x3=a+c-b, x4=b+c-a.

Елементи визначника D= D(x) є многочленами від x степеня 1 або 0, причому многочленами степеня 1 є лише чотири елементи, що знаходяться на побічній діагоналі. Тому серед всіх добутків, з яких складається визначник D, лише добуток елементів побічної діагоналі є многочленом степеня 4. Цей добуток дорівнює x4. Елементи, що складають цей добуток, знаходяться на місцях (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 4,3,2,1. В перестановці 6 інверсій, перестановка парна, знак при добутку +. Таким чином, оскільки у добутку елементів побічної діагоналі коефіцієнт при x4 дорівнює 1, то старший коефіцієнт многочлена D(x) дорівнює 1 і

D= D(x) = (x+a+b+c)(x-a-b+c)(x-a-c+b)(x-b-c+a).

Список літератури

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М., 1965.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М., 1984.

3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М., 1977.