Сторінка
2
збігаються і їх суми, відповідно, дорівнюють і
, то ряди
також збігаються і їх суми будуть
Д о в е д е н н я. Частинні суми даних рядів мають вигляд
Тоді і
що і доводить дану теорему.
2. Необхідна ознака збіжності ряду
При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.
Теорема. Якщо ряд (13.1) збігається, то його ий член прямує до нуля при
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.1) збігається, тобто має місце рівність
де сума ряду; але тоді має місце також рівність
Віднімаючи почленно із першої рівності другу, одержимо:
Але
Отже
що й потрібно було довести.
Наслідок. Якщо , то числовий ряд розбігається.
Приклад. Ряд
розбігається, оскільки
Ряд
називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається, хоча й
Нижче буде показано, що ряди збігаються при
і розбігаються при
1 2
Інші реферати на тему «Математика»:
Відповідності, функції, відображення
Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності
Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції
Синтез систем з оптимізацією модальних регуляторів
Первісна функція і неозначений інтеграл. Основні властивості неозначеного інтеграла.Таблиця основних інтегралів