Сторінка
3

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

а). Якщо число не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукають у вигляді

б). Якщо є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок має вигляд

При цьому справедливе зауваження, аналогічне попередньому: ці вирази залишаються “повними”, навіть якщо один з додатків у правій частині формули (12.54) дорівнює нулеві.

Приклад 2. Дослідити, чи буде обмеженим при загальний розв’язок рівняння

де і - дійсні сталі числа.

Р о з в ‘ я з о к. Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння ми знайшли в прикладі 1 б) п.12.9:

Для знаходження частинного розв’язку слід перевірити, чи буде число збігатися з коренем відповідного характеристичного рівняння Якщо то частинний розв’язок має форму

Якщо то розв’язок має вигляд

Навіть, не знаходячи чисел і , можна дослідити розв’язок вихідного рівняння на обмеженість. Справді, в разі, коли

загальний розв’язок рівняння

При функція є необмеженою, якщо хоч одне з чисел ,відмінне від нуля.

Якщо ж то загальний розв’язок рівняння має вигляд

При функція залишається обмеженою.

Приклад 3. У природі й техніці часто доводиться зустрічатись з коливаннями – механічними, електромагнітними, акустичними. Коливання іноді призводять до небажаних наслідків. Так, раніше пілотам досить часто доводилося зустрічатися з явищем, відомими під назвою флатер, яке спостерігається в авіації. Класичний флатер – це небезпечні коливання конструкції літака. Вібрація верстата може призвести до браку. Під дією вібрації змінюється внутрішня структура металу, що призводить до руйнування конструкції. З коливаннями пов’язані також випадки руйнування мостів, парових турбін. Причина цих катастроф – явище резонансу, який виникає, коли частота так званих власних коливань системи практично збігається з частотою зовнішньої сили. Розглянемо це на прикладі механічних коливань тягара маси що знаходиться на пружній ресорі, нижня точка якої рухається вертикально за законом . Нехай відновлюючи сила пропорційна відхиленню: де жорсткість ресори, - відхилення від рівноваги. Згідно з другим законом Ньютона

або

Спрощуючи це рівняння, отримуємо

(12.54)

де

Відповідне (12.54) однорідне рівняння має комплексно спряжені корені:

Загальний розв’язок рівняння вільних коливань або

(12.55)

де

Коливання, які описуються рівнянням (12.55), називаються гармонічними .

Нехай права частина рівняння (12.54) має вигляд

що часто зустрічається на практиці. У разі, коли частота зовнішньої сили збігається з частотою вільних коливань , має місце резонанс. Справді, в цьому разі частинний розв’язок рівняння (12.54) слід шукати у вигляді

де сталі і знаходяться методом невизначених коефіцієнтів. Тоді загальний розв’язок рівняння вимушених коливань (12.54)