Сторінка
1
У міру нагромадження й ускладнення наукових знань виникла необхідність їхнього упорядкування, структурної побудови, установлення зв'язків між елементами, розкриття їхніх основних принципів, понять, надання цим знанням строгої науковості й визначеності.
У вирішенні цих питань необхідні системний аналіз і структурна побудова наукового знання. Вперше в історії науки системно-структурний аналіз у діяльності людського мислення і його кодування провів Аристотель. Він сформулював закони правильного мислення – закони логіки – і вперше у вигляді системи наукового знання побудував формальну логіку. До Аристотеля існували окремі логічні фрагменти і положення, але не було точної, стрункої системи логічної побудови. Сам Аристотель говорить про це: "Що стосується вчення про умовиводи, то ми не знайшли нічого такого, що було б сказано до нас, а мали самі створювати його з більшою затратою часі та сил" [1, 593].
Формальна логіка стала теоретичною основою в побудові дедуктивних теорій і її вищої форми – форми побудови аксіоматичних систем. Аксіоматичні системи пройшли три етапи розвитку: конкретно змістовний, абстрактно змістовний або напівформальний і формальний. Зразком першої аксіоматичної системи є "Начала" Евкліда, механіка Ньютона, аналітична механіка Лагранжа; абстрактно змістовну аксіоматику являє собою аксіоматика арифметики Пеано; зразком третьої аксіоматичної системи є аксіоматика математичної логіки, формальної арифметики, теорії ймовірностей А.Н. Колмогорова. Усі ці види аксіоматичних систем покликані до життя потребами наукового знання, що розвивається, а також для розв'язання внутрішніх протиріч, що виникають у процесі розвитку дедуктивних наук.
Конкретно змістовна аксіоматика будується на інтуїтивній основі. Несуворий підхід існує і до принципів побудови дедуктивних наук (несуперечності, повноти, незалежності), а також і до ідеї доказу. Але ця перша аксіоматична система сприяла систематизації наукового знання, являла собою цілісне, закінчене наукове знання. Аксіоматика Евкліда очистила геометричну теорію від повторів, протиріч і представила всю теоретичну систему в найбільш простій і доказовій формі. Але ця аксіоматика має ряд недоліків: вона "схоплює" найпростіші відносини між предметами і явищами об'єктивної дійсності, віднесена лише до одних геометричних об'єктів, до однієї предметної галузі, має слабку синтетичність. Основою цієї аксіоматичної системи є формальна логіка Аристотеля.
З розвитком математики і теоретичного природознавства статична аксіоматична система Евкліда перестала задовольняти подальші вимоги. З уведенням змінної величини й відкриттям неевклідових геометрій необхідною стала така логічна операція, яка виконувала б побудову математичної теорії на абстрактно змістовній основі й мала б інтерпретацію. Інтерпретації можуть бути різного роду і мати різний зміст, але елементи аксіоматичної системи далекі від конкретної змістовної основи і мають широкий абстрактний зміст. Так, при побудові абстрактно змістовної аксіоматичної системи Д. Гільберт указує на повну абстрактність елементів цієї системи: "Ми, - говорить він, – мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками й позначаємо А, В, С .; речі другої системи ми називаємо прямими та позначаємо а, в, с .; речі третьої системи ми називаємо площинами і позначаємо" [2, 56].
Гілберт уводить різного роду відносини між елементами системи: "безперервність", "паралельність", "приналежність", "конкретність" або "співмірність". У них фіксуються абстрактні відносини, що належать до різних теоретичних систем. Така аксіоматична система стала більш ємною, синтетичною і широко застосовуваною до інтерпретацій різної предметної галузі. Аксіоматика Д.Гільберта будувалася на математичній логіці; принципи несуперечності, незалежності, повноти, можливості розв'язання, на відміну від конкретно змістовної аксіоматики, також доводяться, хоча на змістовному, семантичному рівні. Геометрія Евкліда стала однією з інтерпретацій, моделей геометрії Д. Гільберта. У цій геометричній системі зростає роль суворості доказів, розвиваються принципи інваріантості, ізоморфізму й відповідності. За допомогою теорії моделей установлюється зв'язок з емпірією.
Але з розвитком теоретико-множинних відносин виникають нові протиріччя. Так були викликані до життя старі парадокси типу "брехуна", "купи", "ідеї про ідею" - є нова "ідея". Ці парадокси сформульовані у вигляді парадоксів Рассела-Цермело, як множина усіх множин, що не містять себе як елементи; парадокс Кантора про найбільше координальне число; парадокс Буралі-Форті, що належить до порядкових трансфінітних чисел та ін. Аналізуючи становище, яке виникло в основах математики, багато найвизначніших учених втратили впевненість. На теорію множин Кантора з усіх боків обрушилася різка критика. Зіштовхнувшись з парадоксами теорії множин, Фреге і Дедекінд фактично відмовилися від своїх точок зору і припинили подальшу роботу. Характеризуючи становище, що склалося, Д.Гільберт пише: "Треба погодитися, що стан, у якому ми перебуваємо нині щодо парадоксу, на тривалий час нестерпний. Подумайте: у математиці – цьому взірцеву достовірності та істинності, - утворення понять і хід умовиводів, як їх всякий вивчає, підносить і застосовує, проводять до безглуздя" [2, 349].
Усі парадокси, які виникли, говорили про те, що математичні теорії побудовані не на суворих підставах, необхідно було абстрактно змістовну аксіоматику замінити на більш сувору. Розробити таку логічну систему, де необхідно буде сформулювати самі поняття "доказ", "формула", "логічне правило", "логічний закон" і формалізувати не тільки аксіоматичну систему, але і правила висновку, тобто не тільки семантичну частину висновку, але й її синтаксис.
Така кодифікація і логічна побудова всієї теоретичної математики приводить до деякої єдиної логічної системи, де виконуються операції над формулами за суворо визначеними правилами. "Ця гра формулами здійснюється за певними цілком визначеними правилами, - говорить Гілберт, - у яких виражається техніка нашого мислення" [Там же, 382].
Отже, цей процес такої побудови кодифікує і систематизує наше мислення; мислення дослідника при побудові математичної теорії додержується законів правильного мислення. Така систематизація розумового апарату, з погляду Гільберта, приведе до суворої, безпомилкової побудови математичної теорії. "Ці правила утворюють замкнену систему, яку можна знайти й остаточно задати. Основна ідея моєї теорії доводу зводиться до опису діяльності нашого розуму, інакше кажучи, це протокол про правила, згідно з якими фактично діє наше мислення" [Там же].
Завантажити реферат