Сторінка
2
Гільберт був глибоко переконаний в істинності своєї теорії доказу. Такою системою побудови він сподівався врятувати математичні теорії від парадоксів, очистити її від несуворостей у побудовах і одержати істинне знання в чистому вигляді.
Посилаючись на Аристотеля, Гільберт глибоко вірив у силу людського розуму, у те, що він здатний осягнути абсолютну істину. "Підтверджується те, - говорить він, - що, можливо, передчував уже Аристотель, а саме: що наш розум не проводить ніяких таємничих фокусів, а, навпаки, користується тільки цілком визначеними, встановленими правилами – що є разом з тим запорукою абсолютної об'єктивності його суджень" [Там же, 399]. Глибоко вірячи в ідею суворості дедуктивного доказу, Гільберт закликав до побудови такої логіко-дедуктивної теорії, яка б вивела математику з кризового становища. "Я вірю, - говорить ін, - що моя теорія доводу робить нам ще ширшу послугу. Адже що було б з істинністю наших знань взагалі і як склалося із здійсненням та прогресом науки, якби навіть у математиці не було достовірної істини?" [Там же].
Формальна аксіоматика зіграла помітну роль у становленні математичної теорії в її несуперечності. Найбільш повно проявилися методологічні принципи несуперечності, незалежності, повноти і проблема можливості розв'язання при аксіоматизації арифметики.
Але відповідь на запитання Гільберта про досягнення істинності, вірогідності і її доказу за допомогою цієї замкнутої формальної аксіоматичної системи не примусила себе чекати.
Аналізуючи формальні аксіоматичні системи, К. Гедель у 1931р., а потім С. Кліні довели обмежені можливості будь-якої формальної аксіоматичної системи. Теорема Геделя про несуперечність і повноту аксіоматичної системи дедуктивно довела, що, якщо система аксіом неповна, то вона несуперечлива, протиріччя настає, якщо вона стає повною. У будь-якій математичній теорії можуть бути сформульовані пропозиції, що неможливо ні довести, ні спростувати засобами цієї аксіоматичної системи, але, приєднуючи цю пропозицію аn+1 або її заперечення до даної аксіоматичної системи а1; а2; а3; аn, одержимо нові аксіоматичні системи. Уперше в історії математики таке розширення зробив Евклід, приєднавши до аксіоматики своєї геометрії 5-й постулат, і з "абсолютної геометрії" одержав геометрію Евкліда, а потім, більш ніж через 2000 років, застосувавши постулат, зворотний 5-му, Н.І.Лобачевський, К. Гаусс і Я. Боян побудували уявну, неевклідову геометрію.
Така побудова аксіоматичних систем має велике гносеологічне значення, стало можливим будувати різного роду аксіоматичні системи, що мають різного ступеня виражальні можливості і застосовності в різних галузях наукового знання. Формально аксіоматичні системи дали можливість поставити ряд філософських питань про співвідношення формального і змістовного в науковому пізнанні, про співвідношення точного й неточного в знанні, що розвивається, про алгоритмізацію, програмування й межі застосовності обчислювальних засобів в одержанні точного знання, про побудову розумових операцій і співвідношення предмета і пізнавальних можливостей за допомогою побудованих логічних структур і обчислювальних засобів. Уся ця логіко-дедуктивна аксіоматична система стала підготовчим етапом для побудови однієї з могутніх галузей сучасної математичної галузі – алгоритмізації, програмування й обчислювальних засобів, без яких немислимий сучасний науково-технічний прогрес. Розглянемо докладніше цей математичний напрямок.
Застосування різного роду обчислювальних засобів, побудова для них програм є невід'ємною частиною в розв'язанні сучасних науково-технічних, соціально-економічних, екологічних та інших задач. З огляду на важливість цих задач, що доводиться вирішувати за допомогою ЕОМ і програмування, природно виникає питання про надійність програмування й обчислювальних засобів.
Теоретичною основою побудови програм на ЕОМ, як було відзначено, стала "Програма Гільберта", його теорія доказу, за допомогою яких він зробив спробу повної формалізації математики.
Гільберт, як відомо, ставив перед собою завдання деталізації кожного кроку доказового мислення, його логічного обґрунтування, де піддавалися повній формалізації не тільки математичні теорії, але і правила висновку, він прагнув розробити такий метод, який би копіював закони правильного мислення.
У процесі розв'язання різного роду науково-технічних задач і формування наукового світогляду діє новий технічний феномен. Він сприяє реалізації розумової діяльності в тій мірі, у якій розумова діяльність здатна розчленовувати досліджуваний процес на елементарні операції. До цього прагнули за всіх часів математики, фіксуючи правила дій з ідеальними об'єктами, виконуючи різного роду логіко-математичні операції. Цей ланцюжок дій над ідеальними об'єктами являв собою ідеальний процес, що деякою мірою заміняв реально існуючий досліджуваний процес. Але спосіб мислення, у свою чергу, повинен відбивати реально існуючий досліджуваний процес. Дослідник прагне розгадати закономірності природи, вибираючи визначений шлях і метод дослідження, користуючись своїм світоглядом і результатами обчислювальних засобів. Дослідники і раніше використовували математичні методи, алгоритми. Але обчислювальні засоби (програмування, ЕОМ) не були розвинуті настільки, щоб можна було вибрати метод дослідження й аналізувати різні варіанти розв'язку. При цьому ставиться завдання можливості розв'язання того чи іншого питання за кінцеву кількість кроків. Це спрощує, деталізує процес, являє свого роду редукційний метод дослідження, в остаточному підсумку ставиться завдання можливості розв'язання.
Завантажити реферат