Сторінка
3
Перші два завдання зводяться до кубічних рівнянь. Архімед пізніше дав загальне рішення кубічних рівнянь за допомогою конічних перерізів. Проте багато коментаторів продовжували вважали подібні методи неприйнятними. Гіппій з Еліди (V століття до н. е.) показав, що для трисекції кута корисна квадратриса (перша трансцендентна крива в історії математики); вона ж, до речі, вирішує і задачу квадратури круга (Дінострат, IV століття до н. е.).
Окрім перерахованих, греки активно досліджували завдання ділення круга : які правильні багатокутники можна побудувати циркулем і лінійкою. Без зусиль вдавалося розділити коло на 3, 4, 5, 15 частин, а також подвоїти перераховані значення. Але семикутник нікому не піддавався. Як виявилося, тут також виходить кубічне рівняння. Повну теорію опублікував тільки Гаус в XIX столітті.
Другого удару по піфагореїзму завдав Зенон Елейський, запропонувавши ще одну тему для багатовікових роздумів математиків. Він висловив більше 40 парадоксів (апорій), з яких найбільш знамениті чотири. Усупереч багатократним спробам їх спростувати і навіть висміяти, вони, проте, досі служать предметом серйозного аналізу. Тут порушені найделікатніші питання підстав математики – кінцівка та нескінченність, безперервність і дискретність. Математика тоді вважалася засобом пізнання реальності, і суть суперечок можна було виразити як неадекватність безперервної, нескінченно поділеної математичної моделі фізично дискретній матерії.
У кінці V століття до н. е. жив ще один видатний мислитель – Демокрит. Він знаменитий не лише створенням концепції атомів. Архімед писав, що Демокрит знайшов об'єм піраміди і конуса, але доказів своїх формул не дав. Ймовірно, Архімед мав на увазі доказ методом вичерпання, якого тоді ще не існувало.
Вже до початку IV століття до н. е. грецька математика далеко випередила усіх своїх учителів, і її бурхливий розвиток тривав. У 389 році до н. е. Платон засновує в Афінах свою школу – знамениту Академію. Математиків, що приєдналися до Академії, можна розділити на дві групи: на тих, хто отримав свою математичну освіту поза Академією, і на учнів Академії. До числа перших належали Теєтет Афінський, Архит Тарентський і пізніше Євдокс Кнідський; до числа других – брати Менехм та Дінострат.
Сам Платон конкретних математичних досліджень не вів, але опублікував глибокі міркування за філософією і методологією математики. А учень Платона, Аристотель, залишив безцінні для нас записки по історії математики.
Євдокс Кнідський перший створив геоцентричну модель руху світил з 27 сферами. Пізніше ця конструкція була розвинена Аполлонієм, Гіппархом і Птоломеєм, які збільшили число сфер до 34 і ввели епіцикли. Йому ж належать два видатні відкриття: загальна теорія стосунків (геометрична модель дійсних чисел) і античний аналіз – метод вичерпання.
Після завоювань Олександра Македонського науковим центром стародавнього світу стає Александрія Єгипетська. Птоломей I заснував в ній Мусейон (Будинок Муз) і запросив туди видатних учених. Це була перша у грекомовному світі державна академія, з найбагатшою бібліотекою (ядром якої послужила бібліотека Аристотеля), яка до I століття до н. е. налічувала 70000 томів.
Учені Александрії об'єднали обчислювальну потужність і древні знання вавилонських і єгипетських математиків з науковими моделями еллінів. Значно просунулися плоска і сферична тригонометрія, статика і гідростатика, оптика, музика та ін. Ератосфен уточнив довжину меридіана і винайшов своє знамените «решето». У історії математики відомі три великі геометри старовини, і передусім – Евклід з його «Началами». Тринадцять книг Начал – основа античної математики, підсумок її 300-річного розвитку і база для подальших досліджень. Вплив і авторитет цієї книги були величезні впродовж двох тисяч років.
Фундамент математики, описаний Евклідом, розширив інший великий учений – Архімед, один з небагатьох математиків античності, які однаково охоче займалися і теоретичною, і прикладною наукою. Він, зокрема, розвинувши метод вичерпання, зумів вичислити площі і об'єми численних фігур і тіл, що раніше не піддавалися зусиллям математиків.
Останнім з трійки великих був Аполлоній Пергський, автор глибокого дослідження конічних перерізів.
Після Аполлонія (з II століття до н. е.) в античній науці почався спад. Нових глибоких ідей не з'являється. У 146 році до н. е. Рим захоплює Грецію, а в 31 році до н. е. – Александрію.
Серед нечисленних досягнень:
- відкриття конхоїди (Нікомед);
- відома формула Герона для площі трикутника (I століття н. е.);
- змістовне дослідження сферичної геометрії Менелаєм Олександрійським;
- завершення геоцентричної моделі світу Птоломея (II століття н. е.), для чого знадобилася глибока розробка плоскої і сферичної тригонометрії.
Необхідно відмітити діяльність Паппа Олександрійський (III століття). Тільки завдяки ньому до нас дійшли відомості про античних учених і їх праці.
На тлі загального застою і занепаду різко виділяється велетенська фігура Діофанту – останнього з великих античних математиків, «батька алгебри».
Після III століття н. е. олександрійська школа проіснувала близько 100 років – прихід християнства і часта смута в імперії різко понизили інтерес до науки. Окремі вчені праці ще з'являються в Афінах, але в 529 році Юстиніан закрив Афінську академію як розсадника язичництва.
Частина учених переїхала в Персію або Сирію і продовжувала праці там. Від них вцілілі скарби античного знання отримали учені країн ісламу (см Математика ісламського середньовіччя).
Грецька математика вражає передусім красою і багатством змісту. Багато учених Нового часу відмічали, що мотиви своїх відкриттів почерпнули у древніх. Зачатки аналізу помітні у Архімеда, корені алгебри – у Діофанту, аналітична геометрія – у Аполлонія і т. д. Але головне навіть не в цьому. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців.
Перше – греки побудували математику як цілісну науку з власною методологією, заснованою на чітко сформульованих законах логіки.
Друге – вони проголосили, що закони природи збагненні для людського розуму, і математичні моделі – ключ до їх пізнання.
У цих двох відношеннях антична математика цілком сучасна.
Механіка. Вічний рух був однією з тих традиційних проблем, яким у зв'язку з дослідженням фізичних явищ в навколишньому житті грецька філософія приділяла багато уваги. Наведемо лише один приклад. Піфагорійці, як і древні греки взагалі, були буквально зачаровані кругом. Вони вважали, що по кругових траєкторіях рухаються не лише небесні тіла, але і людські душі. Але на відміну від ніжних тіл, які рухаються по ідеальних колах, а тому рух їх вічний, людина не здатна «простежити початок і кінець своєї дороги» і тим самим засуджений долею на смерть.
При досліджень умов, що визначають круговий рух тіл, греки дійшли висновків, що навіть теоретично виключають всяку можливість існування на Землі штучно створеного вічного руху, а отже, і вічного двигуна. Із їхньої точки зору, рух тіл на Землі прискорюється у напрямку до її центру. Правда, ці тіла, якщо їх застаєш, можуть переміщатися і по кругових траєкторіях, проте цей рух не буде «досконалим». Про тіла, рух яких був би дійсно круговим, Аристотель говорить, що вони не можуть бути ні важкими, ні легенями, оскільки ці тіла «не здатні наближатися до центру або віддалятися від нього природним або вимушеним чином». Такій умові, проте, задовольняють тільки небесні тіла. Цей висновок привів далі Аристотеля до висновку, що рух космосу є міра усіх інших рухів, оскільки тільки воно одне є постійним, незмінним і вічним.