Сторінка
2

Аксiоми, iтуїцiя, домовленiсть

Починаючи з останнього десятилiття ХIХ столiття, Пуанкаре де­­­монстрував свою схильнiсть до глибокого аналiзу загальних проблем розвитку точних наук. Вiн висловлював смiливi судження, якi поєд­­­нували в собi широкий погляд на наукове пiзнання з глибоким та вiльним володiнням iдеями та методами конкретних наук. Але не­­­обхiдно зауважити, що далеко не всi його оригiнальнi висловлювання з фiлософських проблем в подальшому завоювали таке ж визнання та схвалення, як його досягнення в галузi математики та фiзики. Це зумовлено, зокрема, тiєю непослiдовнiстю, а iнодi - й супереч­­­ливiстю, якi Пуанкаре демонстрував у своїх фiлософсько-наукових мiркуваннях.

Для нас найбiльше зацiкавлення становить те коло питань, яке Пуанкаре вiднiс у "фiлософiю науки" в якостi своєрiдної методо­­­логiї. Цим питанням вiн присвятив свої працi "Наука i гiпотеза" (1902), "Цiннiсть науки" (1905), "Наука i метод" (1908) i "Останнi думки", яка вийшла пiсля смертi видатного вченого у 1913 роцi.

Як вже зазначалось у попереднiх главах, на початку ХХ столiття гостра полемiка розгорнулась навколо питання: звiдки математика бере свiй основний змiст? Багато вчених, вiдкидаючи гiпотезу Блеза Паскаля про визначальну роль iнтуїцiї i наочних споглядань простих iстин для становлення математики, категорично стверджували, що ма­­­тематичне знання виводиться чисто логiчним шляхом.

Наприкiнцi ХIХ-го та на початку ХХ-го столiття складається вчення логiцизму, яке зводило всю математику до логiки. У цей же перiод складається й математична логiка.

Iталiйський математик Пеано в 5-ти томах свого "Математичного формуляру" дав коментований виклад математики мовою логiчних дiй при допомозi розроблених ним спецiальних позначень. У цьому ж нап­­­рямку працювали нiмецькi вченi Фреге i Дедекiнд, британцi Рассел i Уайтхед. З розвитком математичної логiки противники вчення про "iнтуїцiю як основоположення математики" отримали (окрiм наявних доказiв недостовiрностi, посилань на наочнiсть) ще одне могутнє знаряддя, яке, як їм здавалося, дає можливiсть повнiстю i цiлком вилучити з математичного пiзнання iдею "iнтуїцiї".

У 1901 роцi Рассел написав статтю "Найновiшi роботи про початки математики". Трохи пiзнiше виходить знаменита "Principia Mathematica" Рассела i Уайтхеда. Невдовзi французький вчений Кутю­­­ра опублiкував декiлька статей, в яких дав всебiчну оцiнку та де­­­тальний аналiз досягнень Рассела i Пеано. Всi цi дослiдження й склали теоретичний фундамент логiцизму.

Логiцисти вирiшили повнiстю вилучити з математики iнтуїцiю у всiх її видах. З їх точки зору, багатолiтня заочна суперечка мiж Ляйбнiцем та Кантом, тобто суперечка мiж логiкою та iнтуїцiєї в математицi, завдяки працям Пеано i Рассела є раз i назавжди вирiшеною на користь логiки. В цьому вiдношеннi найкращою iлюст­­­рацiєю слугує такий вислiв Рассела: iнтуїтивнi здiбностi "краще розвинутi у дiтей, анiж у дорослих, у собак їх, мабуть, бiльше, чим коли-небудь було в людей. Але хто в цих фактах побачив би ре­­­комендацiю для iнтуїцiї, повинен був би зробити з них висновок i знову бiгати дикуном в лiсах, яскраво розмальовуватись i харчува­­­тись акридамом i диким медом" [2. -с.12].

Тому не дивно, що логiцисти з погордою вiдкидали саму думку про можливiсть застосування iнтуїцiонiзму в математицi. Вся математи­­­ка, з їх погляду, може бути виведена з декiлькох понять, що само­­­визначаються, i речень, що не доводяться; цi поняття i речення закладаються в основу логiки.

У той же час, коли-б здавалося, що поняття "iнтуїцiя" остаточно буде викинутим iз математики, Пуанкаре був фактично єдиним з євро­­­пейських учених, хто наважився на критику програми логiцизму. Зна­­­ходячись практично наодинцi, вiн не лише захистив iнтуїцiю, а ще й передбачив крах логiцизму у час його найбiльшого розквiту, коли, за словами Рассела, "великi трiумфи пробуджували великi надiї".

У питаннi про природу математичного знання i природу математики Пуанкаре виявився втягнутим в тривалу полемiку з британськими та французькими прихильниками логiцизму (Расселом, Уайтхедом, Кутюра).

До оцiнки логiцизму Пуанкаре пiдходить диференцiйовано. На його думку, символiчна логiка, що розвивається логiцистами, "багатша за класичну, чисельнiсть символiв збiльшилась, вони дають змогу буду­­­вати рiзноманiтнi комбiнацiї вже в необмеженiй кiлькостi"[3. -с.21]. Безсумнiвну принадливiсть логiчних визначень Пуанкаре вба­­­чає у тому, що вони забезпечують строгiсть, якої ранiше бракувало математицi, котра приймала свої основнi положення без належного обгрунтування.

Але висунуту логiцистами програму побудови математики, i насам­­­перед її основи - арифметики, за допомогою виключно одної лише логiки, Пуанкаре вважає неприйнятною. На його думку, "чиста логiка завжди приводила б нас лише до тавтологiї i вона не могла б ство­­­рити нiчого нового" [3. -с.21].

Пуанкаре висуває наступнi принциповi заперечення логiцизму: новi результати в математицi не можна отримати лише при допомозi логiки - потрiбна ще й iнтуїцiя; доведення вже отриманих матема­­­тичних iстин неможливе без звернення до iнтуїцiї; символiка логiцистiв являє собою кайдани для математичної творчостi.

Загальний пiдсумок цих заперечень - неможливiсть зведення мате­­­матики до логiки i необхiднiсть визнати iнтуїцiю за одне з осново­­­положень математики. Пуанкаре не обмежився лише критикою логiцистiв, вiн розробив досить детальне вчення про iнтуїцiю.

Таким чином, не заперечуючи тiєї ролi, яку вiдiграє логiчне ви­­­ведення в математичнiй творчостi, Пуанкаре водночас вважає, що однiєю лише логiкою математика аж нiяк не вичерпується. Тобто не­­­обхiдним є ще один вид творчостi, який безапеляцiйно заперечували логiцисти, а саме - iнтуїцiя. Логiка може лише розгортати, розкри­­­вати те знання, яке iз самого початку закладене у вихiдних переду­­­мовах: "Доведення, що грунтується по-справжньому на принципах аналiтичної логiки, повинно складатись з низки речень; однi з них, що слугують засновками, будуть представляти тотожностi або визна­­­чення, iншi - виводитимуться з перших крок за кроком, але, хоча зв'язок мiж кожним реченням i наступним помiчається безпосередньо, не можна буде вiдразу ж побачити, як здiйснився перехiд вiд першо­­­го речення до останнього, i з'явиться спокуса розглядати його як нову iстину. Але якщо послiдовно замiнювати рiзнi вирази, що в нь­­­ому фiгурують, на їх визначення i якщо продовжувати цю операцiю до тих пiр, поки це можливо, то пiд кiнець залишаться лише тотож­­­ностi, так що все зведеться до однiєї величезної тавтологiї. Отже, логiка, якщо вона не заплiднена iнтуїцiєю, залишається безплiдною" [3. -с.399]. Лише iнтуїцiя, осягнення iстини не шляхом доведення, а безпосереднiм iнтелектуальним угледiнням її змiсту, дозволяє зробити стрибок до нового знання.