Сторінка
1
Цикл – це ряд подій, що регулярно повторюються в тому самому порядку.
З Оксфордського словника англійської мови
1. Поки . Приклад 4.1. Розглянемо дещо штучну задачу: написати цілочислову функцію з ім'ям pow для обчислення степеня an за довільним натуральним a і n³ 0. Задача має елементарне розв'язання: an=enlna, і в тілі функції достатньо написати pow:=round(exp(n*ln(a))). Проте невід'ємні степені цілих чисел є цілими, тому спробуємо обійтися без нецілих виразів із функціями exp і ln. За означенням, an є a× a× .× a, тобто a0=1, ai=ai-1× a для i=1, 2, . , n. Це підштовхує до спроби обчислення an шляхом багаторазового множення на a. Спочатку шуканий степінь p=1, і треба n разів умножити його на a. Після першого множення p=a, і треба n-1 разів умножити його на a тощо. Перед останнім множенням p=an-1. Таким чином, спочатку p=1 і треба виконати n множень на a, і поки залишаються "невикористані" множники a, ми множимо p на a, одержуємо новий степінь p і запам'ятовуємо, що "невикористаних" множників стало менше на 1. Остання фраза, власне, і є алгоритмом обчислення an. Перекладемо його на мову Паскаль. Нам потрібні змінні p і a для збереження степеня і його основи, а також змінні n і k для збереження показника степеня й кількості "невикористаних" множників. Змінні a і n – параметри нашої функції, тому їх початкові значення тут не важливі. Тепер алгоритм можна уточнити: p:=1; k:=n; поки k>0 виконувати {залишилися "невикористані" співмножники} begin p:=p*a; k:=k-1 end Якщо перекласти на англійську мову слова поки і виконувати як while і do, то утвориться: p:=1; k:=n; while k>0 do{залишилися "невикористані" співмножники} begin p:=p*a; k:=k-1 end Але це вже Паскаль! Справа в тім, що вираз вигляду while умова do оператор називається while-оператором, або оператором циклу з перед-умовою. Вираз "while умова do" називається заголовком циклу, "оператор" – тілом. Ми б назвали while-оператор циклом з умовою продовження, але цей термін дотепер у літературі не з'являвся. Опишемо семантику оператора циклу та прокоментуємо всі ці назви. Виконання оператора циклу починається з того, що обчислюється умова, записана в заголовку. Якщо вона істинна, то виконується тіло циклу і знову обчислюється умова. Якщо вона істинна, усе повторюється. Якщо ж при черговому обчисленні умова стає хибною, то тіло циклу не виконується і взагалі виконання оператора циклу на цьому закінчується. Зокрема, якщо при першому обчисленні умова хибна, то тіло циклу не виконується жодного разу. Отже, обчислення умови й виконання тіла повторюється, тобто має циклічний характер. Можна сказати, що обчислення умови й виконання тіла утворюють цикл, як день і ніч, змінюючи одне одного, утворюють добу. Істинність умови веде до продовження виконання оператора циклу, хибність – до його завершення, тому умова називається умовою продовження. Вона також називається перед-умовою, оскільки з її обчислення починається черговий цикл. Останній цикл неповний – у ньому тільки обчислюється умова (і виявляється хибною). Оператору з перед-умовою відповідає блок-схема, зображена на рис.4.1. Повернемося до задачі. Послідовність операторів для обчислення an при a=2, n=3 задає процес p:=1; k:=3; обчислення умови k>0: true ; p:=1*2; k:=3-1; {p=2; k=2} обчислення умови k>0: true; p:=2*2; k:=2-1; {p=4; k=1} обчислення умови k>0: true; p:=4*2; k:=1-1; {p=8; k=0} обчислення умови k>0: false, а при a=5, n=0 – процес p:=1; k:=0; обчислення умови k>0: false. У вигляді коментарів тут указано стани пам'яті наприкінці циклів. Запишемо, нарешті, функцію pow: function pow(a, n:integer):integer; var p, k: integer; begin p:=1; k:=n; while k>0 do begin p:=p*a; k:=k-1 end; pow:=p end; ç Приклад 4.2. Розглянемо задачу: за цілим A>0 обчислити мінімальне n таке, що n! ³ A. За означенням, n!=1× 2× …× n, тобто 1!=1, 2!=1!× 2, 3!=2!× 3 тощо, n!=(n-1)!× n. Обчислимо 1! та порівняємо з A; якщо 1!<A, то обчислимо 2!=2× 1! і знову порівняємо тощо. Зрештою після чергового збільшення n виявиться, що n!³ A, і отримане значення n – шукане. Наприклад, при A=5 треба дійти до n=3, при A=120 – до n=5. Нам потрібна змінна n для запам'ятовування чисел 1, 2, 3 тощо, та змінна f – для значень 1!, 2!, 3! тощо. Отже, спочатку n:=1, f:=1, і
поки f<A, треба збільшувати n на 1 і f домножати на n. Перекладемо цей алгоритм на Паскаль. Скористаємося while-оператором із умовою продовження f<A і тілом, у якому задано зміни n і f: n:=1; f:=1; while f<A do {значення n менше шуканого} begin n:=n+1; f:=f*n end; {f>=A, f=n! , тому значення n – шукане} Коментар після циклу містить умову f>=A – по суті, заперечення умови продовження f<A. Коментар із запереченням умови продовження після оператора циклу може істотно допомогти в розробці циклічних операторів, тому радимо записувати його. Оформлення алгоритму у вигляді функції з параметром A залишається як вправа.ç Досвідчені програмісти в деяких випадках користуються "нескінченним циклом" вигляду while true do оператор. Засоби, якими задається вихід із тіла циклу незалежно від значення умови продовження, ми розглянемо в підрозділах 5.3, 5.4. Задачі 1.* Проімітувати виконання послідовності операторів: а) i:=1; x:=1; y:=2; while x<y do begin i:=i+1; x:=x*i; y:=y*2; writeln(i, ' ', x, ' ', y) end; б) i:=1; x:=1; y:=2; while i<=10 do begin i:=i+1; x:=x*i; y:=y*2; writeln(i, ' ', x, ' ', y) end; 2. За цілим A>0 обчислити найбільше n таке, що n!£ A. 3.* Написати функцію обчислення n!, де n³ 0 (0!=1).
2. Рекурентні послідовності та співвідношення 2.1. Деталі конструктора У прикладі 4.1 змінна p у процесі виконання операторів приймала значення 1, a, a2, a3, … , an. У цій послідовності перший член 1, а кожний наступний дорівнює попередньому, помноженому на a. Позначивши члени послідовності через p0, p1, p2, . pn, маємо рівність: pi=pi-1*a при i=1,2,…,n. Така рівність, що виражає член послідовності через попередні (один або кілька), називається рекурентним співвідношенням. "Рекурентний" означає "зворотний". Справді, елемент послідовності тут визначається через попередні, і для його обчислення треба повернутися до них. Усім добре відомі рекурентні співвідношення вигляду an=an-1+d або bn=bn-1× q – їм задовольняють члени відповідно арифметичних або геометричних прогресій. Конкретна ж прогресія, тобто послідовність чисел, задається першим членом a1 і різницею d (або знаменником q). Власне, послідовність степенів у прикладі 4.1 p0, p1, p2, … – геометрична прогресія: вона визначається першим членом p0=1 і рекурентним співвідношенням pi=pi-1*a при будь-якому i>0. У прикладі 4.2 змінна n послідовно приймала значення, що утворюють арифметичну прогресію з першим членом 1 і різницею 1. Послідовність же значень змінної f не була прогресією, але визначалася першим членом f1=1 і співвідношенням fn=fn-1× n при n>1. Послідовність, члени якої задовольняють деяке рекурентне співвідношення, також називається рекурентною. Приклад 4.3. Розглянемо послідовність {f} чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , у якій f1=f2=1, а наступні члени задаються рекурентним співвідношенням
Завантажити реферат