Сторінка
3
l a21 a22 = l a21 l a22 .
Безпосередніми наслідками вказаних визначень є співвідношення:
1) 1 • А = А • 1 = А ;
2) 0 • А = А • 0 = 0 ;
3) a • О = О • a = О ;
4) a (b А) = (a b) А = (А a) b = А (a b);
5) А + (В +С) = (А+ В) + С;
6) А + В = В + А;
7) (a + b) А = a А + b А;
8) a (А + В) = a А + a В;
9) А + О = О + А = А;
10) А + (-1)А = О;
Тут А, В, С - матриці одного порядку, a, b - числа, О - нульова матриця (всі її елементи дорівнюють нулеві). Перевірка вказаних властивостей не викликає ускладнень.
Елемент ci j матриці С, яка є добутком матриці В на матрицю А, дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці В на відповідний елемент j-того стовпця матриці А, тобто
k
ci j =åbi lal j (i=1,2, ,m; j=1,2, ,n).
l=1
Властивості добутку матриць:
1) (А В) С = А (В С);
2) А (В + С) = А В + А С;
3) (А + В) С = А С + В С;
4) А Е = Е А = А;
5) (А В)*= В*А*;
Тут А, В, С - довільні матриці, для яких вказані рівності мають сенс.
Доведемо першу рівність - асоціативність множення матриць.
Позначимо D = A B, F = B C, G = D C, H = A F. Потрібно довести, що G =H. Оскільки множення вказаних вище матриць можливе, то А буде порядку m´n, В - порядку n´k, С - порядку k´l. З означення множення дістанемо, що D - порядку m´k, F - порядку n´l, G i H - матриці одного порядку m´l.
Зафіксуємо довільні i, j і доведемо, що gij = hij.Маємо
k k k
gij = å dia caj = å å aib bba caj ;
a=1 a=1 b=1
n n k
hij = å aibfbj =å aib å bba caj .
b=1 b=1 a=1
Позначивши tab = aib bba caj, отримаємо
k n n k
gij = å å tab , hij = å å tab .
a=1 b=1 b=1 a=1
Кожна із вказаних сум дорівнює сумі всіх елементів деякої матриці (tab ), обчисленій двома різними способами. Отже, hij = gij, що й потрібно довести.
Інші властивості добутку доводяться аналогіччно, тільки простіше.
Оберненою називається матриця А-1, така що якщо її помножити на матрицю до якої вона обернена, то в результаті отримаємо одиничну матрицю. А*А-1=Е
Знайти матрицю, обернену до квадратної матриці М= аi k ,можна за допомогою операцій над розширеною матрицею А:
m11 . . . . m1n 1 . . . . 0
A= . . . . . . . . . . . . . . . .
mn1 . . . . mnn 0 . . . . 1
Якщо ліву частину матриці А звести елементарними перетвореннями до одиничної, то в правій частині дістанемо матрицю, обернену до М.
До елементарних перетворень належать:
1)Переставлення двох рядків матриці А (або двох однойменних стовпців в лівій і правій частинах матриці А);
2)Множення рядка на відмінне від нуля число( або однойменних стовпців в лівій і правій частинах матриці А);
3)Заміна рядка сумою цього і будь-якого іншого рядка (або та ж сама сума однойменних стовпців в лівій і правій частинах матриці А);
Ділення двох матриць.
Дію ділення можна замінити дією множення на обернену матрицю
A B = A * В-1
PROGRAM povorot; {Поворот матриці }
USES CRT;
CONST
N=3;
TYPE
S=ARRAY[1 N,1 N]OF REAL;
SS=ARRAY[1 N,1 N]OF REAL;
VAR
S1:S;S2:SS;M,i,j:INTEGER;
BEGIN
FOR i:=1 TO N DO
BEGIN
FOR j:=1 TO N DO
BEGIN
READ(S1[i,j]); {Ввід матриці}
END;
END;
WRITE('Vvedit kut povorotu');
READ(M); {Ввід кута повороту}
CASE M OF
90:BEGIN {Поворот матриці на 90°}
FOR i:=1 TO N DO
FOR j:=1 TO N DO
S2[I,J]:=S1[N-J+1,I];
FOR i:=1 TO N DO
FOR j:=1 TO N DO
WRITELN(S2[i,j]);
END;
180: BEGIN {Поворот матриці на 180°}
FOR I:=1 TO N DO
FOR J:=1 TO N DO
S2[I,J]:=S1[N-I+1,N-J+1];
FOR I:=1 TO N DO
FOR J:=1 TO N DO
WRITELN(S2[I,J]);
END;
270: BEGIN {Поворот матриці на 270°}
FOR I:=1 TO N DO
FOR J:=1 TO N DO
S2[I,J]:=S1[J,N-I+1];
FOR I:=1 TO N DO
FOR J:=1 TO N DO
WRITELN(S2[I,J]); {Вивід результату}
END; END;
END.
Program Suma; {Сума двох матриць}
Const dim1=20;
dim2=40;{dim2=2*dim1}
Type ar1=array[1 dim1,1 dim2] of real;
ar2=array[1 dim1,1 dim2] of real;
ar3=array[1 dim1,1 dim2] of real;
Var i,j,n,m:integer;
A:ar1;
B:ar2;
C:ar3;
Begin
write('Введіть розмірність матриці М');
readln(n,m); {Ввід розмірності матриць }
write('Введіть матрицю М');
For i:=1 to n do
For j:=1 to m do
read(A[i,j]); {Ввід першої матриці}
write('Введіть матрицю М');
For i:=1 to n do
For j:=1 to m do
read(B[i,j]); {Ввід другої матриці}
For i:=1 to n do
For j:=1 to m do
C[i,j]:=A[i,j]+B[i,j]; {Обчислення суми матриць}
For i:=1 to n do
For j:=1 to m do
writeln(C[i,j]); {Вивід результату}
End.
Результати:
n=2,m=3
1 -4 5 6 -1 0 7 -5 5
0 3 8 6 0 -9 6 3 -1
Program Rizn; {Знаходження різниці двох матриць}
Const dim1=20;
dim2=40;
Type ar1=array[1 dim1,1 dim2] of real;
ar2=array[1 dim1,1 dim2] of real;
ar3=array[1 dim1,1 dim2] of real;
Var i,j,n,m:integer;
A:ar1;
B:ar2;
C:ar3;
Begin
write('Введіть розмірність матриці М');
readln(n,m); {Ввід розмірності матриць}
write('Введіть матрицю М');
For i:=1 to n do
For j:=1 to m do
Завантажити реферат