Назва реферату: Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами
Розділ: Математика
Завантажено з сайту: www.refsua.com
Дата розміщення: 21.01.2012
Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами
Система диференціальних рівнянь вигляду
де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується
.
1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.
Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими коефіцієнтами.
Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора
.
Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо
Скоротивши на , і перенісши всі члени вправо, запишемо
Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто
.
Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі
і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його
.
Алгебраїчне рівняння -го ступеня має
-коренів. Розглянемо різні випадки.
1. Всі корені характеристичного рівняння (власні числа матриці
) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь
одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи
,
, … ,
що являють собою власні вектори, які відповідають власним числам ,
.
У такий спосіб одержимо - розв’язків
,
, … ,
.
Причому оскільки -різні а
- відповідні їм власні вектори, то розв’язки
- лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд
.
Або у векторно - матричної формі запису
,
де - довільні сталі.
2. Нехай пара комплексно спряжених коренів. Візьмемо один з них, наприклад
. Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор
і, відповідно, розв’язок
Використовуючи залежність , перетворимо розв’язок до вигляду:
.
І, як випливає з властивості 4 розв’язків однорідних систем, якщо комплексна функція дійсного аргументу є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна і уявна частини також будуть розв’язками, тобто комплексним власним числам
відповідають лінійно незалежні розв’язки
,
.
3. Якщо характеристичне рівняння має кратний корінь кратності
, тобто
, то розв’язок системи рівнянь має вигляд
.
Підставивши його у вихідне диференціальне рівняння і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях, одержимо - рівнянь, що містять
-невідомих. Тому що корінь характеристичного рівняння
має кратність
, то ранг отриманої системи
. Уводячи
довільних сталих
і розв’язуючи систему, одержимо
,
,
.
2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом
Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді
.
Робиться невироджене перетворення , де вектор
- нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд
або
.
Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця
, що приводить її до жорданової форми, тобто
, де
- жорданова форма матриці
. І система диференціальних рівнянь прийме вигляд
.
Складемо характеристичне рівняння матриці
, або
.
Алгебраїчне рівняння -го ступеня має
коренів. Розглянемо різні випадки.
1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця
має вигляд
.
І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь
.
Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо
.
Або в матричному вигляді
де
.
Звідси розв’язок вихідного рівняння має вигляд . Для знаходження матриці
треба розв’язати матричне рівняння
або
,
де - жорданова форма матриці
. Якщо матрицю
записати у вигляді
,
то для кожного з стовпчиків , матричне рівняння перетвориться до
,
.
Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір
- власних векторів, що відповідають різним власним числам.
2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд
,
а перетворена система диференціальних рівнянь
Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд
Або в матричному вигляді
Таким чином, комплексно-спряженим власним числам відповідає розв’язок
де
3. Нехай - кратний корінь, кратності
, тобто
і йому відповідають
лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид
|
І перетворена підсистема, що відповідає власному числу , розпадається не дві підсистеми
.
.
Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді
Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд
.
Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо
.
Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних рівнянь, тобто
.
Загальний розв’язок однорідного має вигляд .
Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді
,
де - невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо
.
Звідси і загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд
.
Піднявшись ще на один крок нагору одержимо
.
Продовжуючи процес далі, маємо
.
Або у векторно - матричному вигляді
.
Додавши першу підсистему, одержимо
,
Для останніх двох випадків матриця знаходиться як розв’язок матричного рівняння
.