Лінійні неоднорідні системи

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

чи у векторно-матричному вигляді

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор є

розв’язком лінійної неоднорідної системи, a розв’язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума - є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

і .

Але тоді і

тобто є розв’язком неоднорідної системи.

Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори ,є розв’язками лінійних неоднорідних систем

, ,

де , то вектор , де - довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи

.

Дійсно, за умовою виконуються - тотожностей

.

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

,

тобто лінійна комбінаціябуде розв’язком системи

.

Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементамиє розв’язком неоднорідної системи , де , , , то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою

.

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

.

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи.

Доведення. Нехай- загальний розв’язок однорідної системи і - частинний розв’язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума буде розв’язком неоднорідної системи.

Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто підбором сталих , можна розв’язати довільну задачу Коші

.

Оскільки- загальний розв’язок однорідного рівняння, то вектори лінійно незалежні і система алгебраїчних рівнянь

має єдине розв’язок ,. І лінійна комбінація с отриманими сталими , є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.

Нехай маємо систему

і - загальний розв’язок однорідної системи. Розв’язок неоднорідної будемо шукати в такому ж вигляді, але вважати не сталими, а невідомими функціями, тобто і ,чи в матричній формі

,

де -фундаментальна матриця розв’язків, - вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо

,

чи

.

Оскільки- фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то

.

і залишається система рівнянь .

Розписавши покоординатно, одержимо

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок і функції визначаються в такий спосіб

Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд

.

Для лінійної неоднорідної системи на площині

метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.

Нехай

.

Фундаментальна матриця розв’язків однорідної системи. Тоді частинний розв’язок неоднорідної шукається у вигляді

Звідси

І загальний розв’язок має вигляд

, ,

де - довільні сталі.

4. Метод невизначених коефіцієнтів

Якщо система лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, а векторна функція спеціального виду, то частинний розв’язок можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв’язку зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих порядків.

1) Нехай кожна з компонент вектора є многочленом степеня не більш ніж , тобто

.

а) Якщо характеристичне рівняння не має нульового кореня, тобто , , то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

.

б) Якщо характеристичне рівняння має нульовий корінь кратності , тобто , те частинний розв’язок шукається у вигляді многочлена степеня , тобто

.

Причому перші - коефіцієнти , , знаходяться точно, а інші з точністю до сталих інтегрування , що входять у загальний розв’язок однорідних систем.

2) Нехай має вид

.

а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення , тобто , , то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

.

б) Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності , тобто, то частинний розв’язок шукається у вигляді

.

І, як у попередньому пункті, перші - коефіцієнти , , знаходяться точно, а інші з точністю до сталої інтегрування .

3) Нехай має вигляд:

а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення , то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

б) Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності , то частинний розв’язок має вигляд