Назва реферату: Джерела статистики, види середніх та способи їх обчислення
Розділ: Математика
Завантажено з сайту: www.refsua.com
Дата розміщення: 21.01.2012

Джерела статистики, види середніх та способи їх обчислення

Зміст

1. Джерела статистики. 3

2. Види середніх та способи їх обчислення. 7

2.1. Суть і види середньої величини. 7

2.2. Середня арифметична проста і зважена. 11

Задача. 14

Список літератури. 25

1. Джерела статистики

Слово «статистика» означає суму знань про державу. В сучасному розумінні статистика обіймає:

1) статистичні дані, отримані шляхом масових спосте­режень;

2) статистичну практику, тобто діяльність статистич­них установ, які збирають і обробляють інформацію про соціально-економічні явища і процеси;

3) статистичну науку.

За образним висловлюванням Н.К. Дружиніна, ста­тистика постає як дволикий Янус: вона — наука і в той же час один із засобів управління державою. Протягом тривалого і складного шляху формування статистики ці дві функції постійно взаємодіяли, і практичні потреби неминуче впливали на розвиток статистичної науки.

Первинною формою статистики був господарський облік, поява якого відноситься до глибокої давнини і по­в'язана з утворенням держав. Для управління державою потрібна була інформація про чисельність населення, склад земель, поголів'я худоби, стан торгівлі та ін. Уже в країнах Стародавнього світу склались розвинуті систе­ми державного та адміністративного обліку, що дістало відображення в священних книгах різних народів. Так, Конфуцій у книзі «Шу-Кінг» посилається на дані перепи­су населення Китаю в 2238 р. до н. е. В Біблії, у Четвер­тій книзі Мойсея «Числа» розповідається про облік чоловічого населення, здатного носити зброю.

Античний світ змінив характер господарського обліку. Окрім державного обліку з'являється облік з ініціативи банкірів, торговців, власників майстерень, де працювали раби, і латифундій. З розширенням зв'язків і уявлень про світ виникли описи держав. Аристотель описав 157 міст і держав свого часу.

У стародавньому Римі був утворений перший стати­стичний орган — ценз для проведення переписів вільних громадян. Значний, імпульс до розвитку міста облік приватних господарств.

З Середньовіччя до наших часів збереглося унікальне зведення даних загального земельного, перепису Англії «Книга страшного суду». Розвиток міст привів до появи муніципального обліку.

Точність і вірогідність господарського обліку були невисокі. В повсякденному житті люди користувались порівняльними схемами „більше— менше” і лише в край­ньому випадку — кількісними вимірниками. Епоха Від­родження дала світу Луку Пачолі, який у своїй фунда­ментальній енциклопедичній праці «Сума арифметики, геометрії, учення про пропорції і відношення» (1494) заклав основи бухгалтерського обліку.

Розвиток бухгалтерського обліку і первинної реєстра­ції фактів, накопичування масових даних про. суспільні явища і необхідність їх узагальнення, підвищення попиту щодо кількісного вимірювання явищ і закономірностей суспільного життя, розвиток таких фундаментальних наук, як філософія і математика, які допомогли усвідо­мити значення статистики як засобу соціального пізнан­ня,— ось неповний перелік умов, завдяки яким в XVII ст. стало неминучим формування статистики На початку цього процесу виділилось два напрями: державознавство і політична арифметика.

Державознавство часто називають описовою школою статистики, її представники основними завданнями ста­тистики вважали систематизоване описування тих фак­тів, які визначають велич та могутність держави. Однак через обмеженість цифрових даних переважали словесні характеристики, а математичні методи пізнання недооці­нювались. Незважаючи на все це, безперечним досягнен­ням державознавства слід вважати сукупність розробле­них показників і створення спеціальної системи збору статистичних даних про масові явища.

Школа політичних арифметиків мри вивченні соціаль­них явищ перевагу віддавала кількісним характеристи­кам. Основоположник її В. Петті використав новий спосіб доведения. Замість словесних порівнянь, похвали і аб­страктних аргументів він виражав свої думки мовою чисел, ваги, мір.

Політичні арифметики в цілому вірно визначили суть статистики, її завданий і значення як методу соціального пізнання, їх успіхам сприяв нерозривкий зв'язок з прак­тичною, політичною і економічною діяльністю. Представники цієї школи (Д. Граунт, П. Зюсмильхта ін.) внесли вагомий вклад в розвиток демографії, ввели в науковий обіг таблиці і графіки. В XVIII ст. були зроблені також перші кроки на шляху до вивчення динаміки цін за допо­могою індексів (Дюто, Карлі).

Таким чином, державознавство і політична арифме­тика - два напрями поступового розвитку господарського обліку, у них один об'єкт дослідження - суспільство, але різні методи - описування і вимірювання.

У XIX ст. зростали обсяги офіційної інформації і кіль­кісні характеристики поступово витісняли текстові описування. Статистика набувала «кількісного відтінку». Подальший її розвиток вимагав вдосконалення методів збирання, обробки, узагальнення масових даних. Фунда­тором теорії статистики став А. Кетле. Його праці, перед­усім «Соціальна фізика», - це початок пошуку філософ­ських підвалин статистики. А. Кетле вважав, що предметом статистики є «людина в суспільстві», а методологічною основою — принцип масовості, пізніше названий законом великих чисел. Саме цей принцип зумовив необхідність обчислення середніх величин як узагальнюючих характе­ристик сукупності.

У Росії в XIX ст. формувалась статистика політико-економічного напряму. Про це свідчать роботи К.Ф. Гер­мана, К.І. Арсеньєва, В.П. Андросова, Д.П. Журавського та ін. Проте інтенсивний розвиток математичної статистики в кінці століття потіснив політекономічний її напрям. У зв'язку з цим виділилось дві концепції щодо наукового змісту статистики:

1) статистика як метод пізнання (А.А. Чупров, А.А. Кауфман, Н.А. Каблуков, Н.К. Дружинін та ін);

2) статистика - наука, предметом дослідження якої є масові явища і процеси (Ю.Є. Янсон, А.Ф. Фортуна­тов, В.С. Німчинов, Й.С. Пасхавер та ін.).

Кожна з концепцій відображала лише одну сторону статистики, оскільки статистика одночасно є і наукою, і методом. Експансія статистичних методів у різні галузі знань привела до тривалої дискусії щодо предмета ста­тистики. Одні (універсалісти) вважали, що - статистика вивчає будь-які масові явища, інші (гуманітаристи) об­межували предмет вивчення явищами суспільного життя. Дискусія завершилась визнанням статистики суспільною наукою.

2. Види середніх та способи їх обчислення

2.1. Суть і види середньої величини

Серед узагальнювальних показників, які застосовують для характеристики суспільних явищ і виявлення закономірностей їхнього розвитку, велике значення мають середні величини Це можна пояснити тим, що статистика вивчає сукупності за варіаційними ознаками, зміна яких проявляється в зміненні кількісних значень окремих одиниць цих сукупностей. На індивідуальні значення кожної одиниці спостереження діють кілька чинників, а також індивідуальні особливості Наприклад, розподіл робітників двох підприємств можна охарактеризувати за їх кваліфікацією, яка виражається розря­дом. Для цього слід розраховувати показник середнього тарифною розряду окремо по кожному підприємству. Одержані середні величини можна порівняти і дати однозначну відповідь, на якому з підприємств рівень кваліфікації робітників вищий.

Досліджуваному рівню кваліфікації робітників надають узагальнювальну характеристику, що виконує роль середньої величини В середній величині зібрано типові ознаки, характерні для всієї сукуп­ності. Середня величина є одним з найпоширеніших способів уза­гальнення

Середньою величиною в статистиці називають узагальнювальний показник, який характеризує типовий рівень варіаційної ознаки в розрахунку на одиницю однорідної сукупності.

Вивчаючи суспільні явища з метою виявлення характерних, закономірних рис у конкретних умовах місця й часу, статистика широко використовує середні величини Складно без визначення середніх надати порівняльну характеристику продуктивності пращ, рівня урожайності тощо

Про важливість середніх величин для статистичної практики й науки зазначається в роботах багатьох вчених. Так, відомий англійський економіст В. Петті (1623—1687) пропонував поширювати застосування середніх величин на вивчення економічних проблем, зокрема, наприклад, використовувати як міру вартості затрат на середнє денне харчування одного дорослого працівника. Він уважав сталість середньої величини як відображення закономірностей досліджуваних явищ, незалежно від того, що окремі дані не збігаються із середньою величиною.

Значний внесок у розробку теорії середніх величин належить бельгійському вченому А. Кетле (1796—1874). За його теорією, на кожне явище діють як постійні (загальні), так і індивідуальні чинники, причому перші наближують ці явища в їх проявах одне до одного, підтверджують загальні для всіх них закономірності. Наслідком вчення А. Кетле про загальні та індивідуальні причини було виділення середніх величин як основного методу статистичного аналізу, особливо, зважаючи на те, що статистичні середні величини є не просто методом математичного вимірювання, а й категорією об'єктивної реальності. Типову, реально існуючу середню А. Кетле ототожнював з істинною величиною, відхилення від якої можуть бути тільки випадковими.

На підтвердження цього є обґрунтована ним теорія «середньої людини».

На думку А. Кетле, середня людина наділена всіма рисами в середньому обсязі: середня на зріст і вагу, має середню смертність і народжуваність, середню схильність до шлюбу і самогубства, до добрих і поганих справ тощо. Для А. Кетле «середня людина» не проста абстракція. Це — ідеал людини. Проте помилковість теорії «середньої людини» А. Кетле було доведено ще наприкінці минулого століття. Відомий статистик Ю. Янсон писав, що А. Кетле передбачає існування в природі типу середньої людини як чогось даного, від якого життя відхилило «середніх людей» цього суспільства і даного часу, а це, природно, зумовлює абсолютно механічний погляд і на закони руху соціального життя: рух — це не розвиток, а поступове зростання середніх властивостей людини, посту­пове відновлення типу; а це нівелює всі прояви життя соціального тіла, коли будь-який поступальний рух припиняється.

Вірне розуміння суті середньої величини визначає її особливу значущість в умовах ринкової економіки, коли середня через взаємне погашення індивідуальних значень дає змогу виявити загальну тенденцію розвитку. Тому тлумачення суті середніх виходить із поло­жень закону великих чисел і його значення для середніх. Закон великих чисел створює умови, щоб у середній величині проявлявся типовий рівень варіаційної ознаки. А власне розмір цього рівня визначається зовсім не законом великих чисел, а суттю того явища, що характеризується середньою.

Середні величини в статистиці належать до класу степеневих середніх, які описує формула

,

де X — рівень ознаки, варіант; п — число варіантів; т — показник степеня середньої.

Зміна степеня середньої величини визначає її вигляд:

- т = 1 - середня арифметична;

- т = 0 - середня геометрична;

- т = -1- середня гармонійна;

- т = 2 - середня квадратична;

- т = 3 - середня кубічна.

Їхні відповідні формули мають такий вигляд:

- (середня арифметична);

- (середня геометрична);

- (середня гармонійна);

- (середня квадратична);

- (середня кубічна).

Із степеневих середніх у статистиці найчастіше використовують середню арифметичну, рідше — середню гармонійну, середню гео­метричну — тільки для обчислення середніх темпів динаміки, а середню квадратичну — для розрахунків показників варіації. Серед­ню кубічну майже не використовують. Вирішити, яку саме середню потрібно застосовувати в окремому випадку, можна шляхом аналізу конкретної досліджуваної сукупності. Вірну характеристику сукуп­ності за варіаційною ознакою в кожному окремому випадку дає тільки певний вид середньої.

Крім степеневих середніх, у статистиці використовують описові характеристики розподілу варіаційної ознаки — моду і медіану, які характеризують структуру сукупності, тому їх іще називають струк­турними середніми.

Добір середніх має ґрунтуватися на позиціях діалектичного ро­зуміння категорій загального та індивідуального, масового та оди­ничного. У кожному випадку слід пам'ятати про вимоги стосов­но середніх, що треба знайти.

- Визначення середньої на підставі масових даних. Індивідуальні значення досліджуваної ознаки в окремих одиниць сукупності мають бути різними. Для того щоб дістати науково обґрунтовану типову величину, обчислювати середню слід за даними, до яких залучається якнайбільше одиниць цієї сукупності. В разі уза­гальнення масових фактів випадкові відхилення індивідуальних величин від загальної тенденції взаємно погашаються в середній величині. Ця вимога в статистиці пов'язує середні величини із законом великих чисел.

- Якісна однорідність, одноманітність сукупності, для якої визна­чають середню. Це означає, що не можна застосовувати середні до таких сукупностей, окремі частини яких підлягають різним законам розвитку відносно осереднюваної ознаки. Якщо, наприклад, визначити середню врожайність сільськогос­подарських культур, то не можна її розраховувати, склавши разом урожай зернових і технічних культур. Така середня не відображує особливостей цього явища і є не науковою, а фіктивною. Саме тому застосування методу середніх пов'язують з методом групування. Потрібно будь-яку досліджувану сукупність розчленувати спочатку на однорідні групи за певною ознакою, а вже потім визначати середню досліджуваної ознаки.

2.2. Середня арифметична проста і зважена

Одним з найпоширеніших видів середньої є середня арифме­тична, її застосовують в тих випадках, коли обсяг варіаційної ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки в окремих одиниць досліджуваної сукупності. Для того щоб розрахувати серед­ню арифметичну, потрібно скласти всі окремі варіанти (індивідуальні значення ознаки) і суму поділити на їхню кількість.

Наприклад, відомо, що тарифний розряд робітників бригади, яка складається з восьми чоловік, становить: 3, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 4. Треба знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади. Для цього скла­демо тарифний розряд кожного робітника і добуту суму поділимо на кількість робітників:

.

Позначивши варіанти X1, Х2 тощо, визначимо середню арифме­тичну за такою формулою:

.

Середня арифметична буває двох видів - проста і зважена. Наведена вище середня є середньою арифметичною простою і визна­чають її двома простими операціями - складанням значень варіантів і діленням отриманої суми на їхню кількість.

Проте такий розрахунок середньої можна дещо спростити: перед додаванням помножити варіанти на частоти, тобто на число, що вказує на те, скільки разів цей варіант трапляється у відповідному ряді.

Ряд розподілу робітників за тарифним розрядом

Тарифний розряд робітників

2

3

4

5

6

Кількість робітників

-

2

4

2

-

Таке множення варіантів на їхні частоти в статистиці називають зважуванням, а обчислена в такий спосіб середня - середньою арифметичною зваженою.

Обчислення середньої зваженої в цьому прикладі має такий вигляд:

.

Якщо частоту (вагу) позначити f, то формула середньої арифме­тичної зваженої має такий вигляд:

.

У наведеному прикладі за цією формулою обчислювати середню набагато легше, ніж за формулою простої арифметичної. Отже, для визначення середньої арифметичної зваженої виконують такі опе­рації: множення кожного варіанта на його частоту, підсумовування отриманих добутків і, врешті, ділення добутої суми на суму частот.

Переважно середню арифметичну визначають за формулою се­редньої зваженої. Просту середню використовують тільки у випадках, коли в кожного варіанта частота дорівнює одиниці, тобто варіант трапляється один раз. Якщо частоти всіх варіантів однакові, то при Визначенні середньої арифметичної можна також відмовитися від зважування.

Часто середні величини обчислюють за даними не тільки дискрет­них, а й інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки подають у вигляді інтервалу (від . до), як, наприклад, у табл. 1.

Таблиця 1

Розподіл робітників підприємства за групами залежно від рівня продуктивності праці

Середній виробіток товарної продукції на одного робітника, грн

Кількість

робітників f, чол.

Середина інтервалу X, грн

Xf, грн

800 . 1000

20

900

18000

1000 . 1200

80

1100

88000

1200 . 1400

160

1300

208000

1400 . 1600

90

1500

135000

1600 . 1800

40

1700

68000

1800 . 2000

10

1900

19000

Разом

400

-

536000

Тому для обчислення середньої величини спочатку потрібно перетворити інтервальний ряд на дискретний, для чого треба визна­чити середнє значення інтервалу кожної групи. Середнє значення інтервалу дорівнює півсумі його верхньої та нижньої меж. Для пер­шого інтервалу це становитиме грн і т. д. Середнє значення відкритого інтервалу визначають з розміру інтервалу на­ступної групи або попередньої, тобто в сусідніх групах.

Після знаходження середнього значення інтервалів розрахунки здійснюють так само, як і в дискретному варіаційному ряді: варіанти перемножують на частоти і суму добутків ділять на суму частот.

У наведеному прикладі середній рівень виробітку по підприємству

Задача

Використовуючи наведены дані, визначити:

1. Характер зв’язків між факторами;

2. Коефіцієнти парної та множинної кореляції;

3. Рівняння регресії;

4. Середню помилку коефіцієнта регресії;

5. Вірогідність коефіцієнта кореляції (t-критерій Стьюдента та/або критерій Фішера).

Рішення.

Кореляційний аналіз – це метод кількісної оцінки взаємозалежностей між статистичними ознаками, що характеризують окремі суспільно-економічні явища і процеси.

За ступенем залежності одного явища від іншого розрізняють два види зв’язку: функціональний (повний) і кореляційний (неповний, або статистичний).

Функціональним називається зв’язок, при якому кожному значенню факторної ознаки, що характеризує певне явище, відповідає одна або кілька значень результативної ознаки. Прикладом такого зв’язку є залежність між довжиною і радіусом кола, площею і стороною квадрата. Функціональна залежність виявляється у кожному окремому випадку абсолютно точно і виражається за допомогою аналітичних формул.

При дослідженні взаємозалежності масових соціально-економічних явищ, які формуються під впливом різноманітних факторів, використовують кореляційні зв’язки, які носять імовірнісний характер. При кореляційному зв’язку немає суворої відповідності між значеннями залежних ознак: кожному певному значенню факторної ознаки відповідає кілька значень результативної ознаки.

За напрямом зв’язок між корелюючими величинам може бути прямим і зворотним. При прямому зв’язку факторна ознака змінюється в тому самому напрямі, що й результативна. Якщо із збільшенням факторної ознаки результативна ознака зменшується або, навпаки, із зменшенням факторної ознаки результативна ознака збільшується, то такий зв’язок називають зворотним.

За формою розрізняють прямолінійний і криволінійний кореляційний зв’язок. Прямолінійний кореляційний зв’язок характеризується рівномірним збільшенням або зменшенням результативної ознаки під впливом відповідної зміни факторної ознаки. При криволінійному кореляційному зв’язку рівним змінам середніх значень факторної ознаки відповідають нерівні зміни середніх значень результативної ознаки. Аналітично криволінійний зв’язок визначають за рівнянням кривої лінії.

Залежно від кількості досліджуваних ознак розрізняють парну (просту) і множинну кореляцію.

1. Визначення показників зв’язку при прямій парній залежності

При парній кореляції аналізують зв’язок між факторною і результативною ознаками.

Таблиця 3.1.

Вихідні і розрахункові дані для обчислення парної кореляції між прибутком і витратами на маркетинг

прибуток

Витрати на маркетинг

Розрахункові величини

п/п

Y

X1

X12

Y2

X1*Y

Yx1

(Y-Yx)2

Y(x)

1

1123

12

144

1261129

13476

36,7599

8,8808

36,7599

2

459

4

16

210681

1836

36,4948

10,5313

36,4948

3

648

5

25

419904

3240

42,5928

8,1385

42,5928

4

1095

13

169

1199025

14235

36,2297

12,3224

36,2297

5

1376

14

196

1893376

19264

35,1691

20,8927

35,1691

6

1478

14

196

2184484

20692

36,4948

10,5313

36,4948

7

2186

19

361

4778596

41534

40,7369

0,9938

40,7369

8

1653

21

441

2732409

34713

40,2066

0,2177

40,2066

9

1084

15

225

1175056

16260

39,1461

0,3527

39,1461

10

995

11

121

990025

10945

41,2672

2,3322

41,2672

11

894

14

196

799236

12516

39,9415

0,0406

39,9415

12

889

19

361

790321

16891

43,1231

11,4452

43,1231

13

730

4

16

532900

2920

43,1231

11,4452

43,1231

14

1139

17

289

1297321

19363

41,7974

4,2330

41,7974

15

1540

20

400

2371600

30800

36,4948

10,5313

36,4948

16

950

10

100

902500

9500

39,6764

0,0040

39,6764

17

339

6

36

114921

2034

42,0625

5,3942

42,0625

18

841

7

49

707281

5887

42,0625

5,3942

42,0625

19

943

6

36

889249

5658

36,7599

8,8808

36,7599

20

1176

18

324

1382976

21168

41,0020

1,5927

41,0020

21

399

0

0

159201

0

43,9185

17,4596

43,9185

22

2031

33

1089

4124961

67023

37,0251

7,3709

37,0251

23

990

9

81

980100

8910

41,0020

1,5927

41,0020

24

843

9

81

710649

7587

37,2902

6,0016

37,2902

25

1127

9

81

1270129

10143

43,1231

11,4452

43,1231

Разом

26928

309

5033

33878030

396595

993,50

178,02

993,50

Перевіримо передумови кореляції:

Vx=14,536 %; Vy=8,336 %.

Варіація достатня по ряду Х, але недостатня по ряду У.

2. gхmin=1,71 <3; gхmax=1,565 <3;

gymin=2,035 <3; gymax=1,225 <3.

Сукупність 25 підприємств є однорідною, як за ознакою Х так і за ознакою У. Для того щоб обґрунтувати вибір математичного рівняння побудуємо кореляційне поле. Прямолінійну форму зв’язку визначають рівнянням прямої лінії: yx =a0+a1x, де yx – теоретичні (обчислені за рівнянням регресій) значення результативної ознаки; a0 – початок відліку, або значення yx при умові, що х=0; a1 – коефіцієнт регресії, який показує, як змінюється yx при кожній зміні х на одиницю.

Параметри a0 і a1 рівняння регресії обчислюють способом найменших квадратів. Розв’яжемо систему нормальних рівнянь:

na0 + a1åxi = åyi

a0åxi + a1åxi2 = åxiyi

25a0 + 173,1a1 = 993,5

173,1a0 + 1223,87a1 = 6946,14

D = 633,14; Da0 = 13538,01; Da1 = 1678,65, звідси знаходимо коефіцієнти регресії: a0 = 21,38233, a1 = 2, 651309.

Отже, рівняння кореляційного зв’язку між собівартістю зернових і внесенням органічних добрив матиме такий вигляд:

yx = 21,38233 + 2,651309×х

Економічний зміст цього рівняння такий: коефіцієнт регресії показує, що в досліджуваній сукупності підприємств із збільшенням витрат на маркетинг на 1 тис. грн. прибуток збільшується в середньому на 2,65 тис. грн. Параметр a0 як вільний член рівняння має тільки розрахункове значення.

Визначимо міру впливу фактора на результат. Для оцінки міри впливу фактора на результат обчислюють індекс кореляції який обчислюється як відношення двох дисперсій:

Також ще можна обчислювати коефіцієнт кореляції:

Коефіцієнт кореляції показує, що між витратами на маркетинг і прибутком у досліджуваних підприємствах зв’язок прямий і щільний.

h2 = Д = 64,90 %

Д – коефіцієнт детермінації, показує на скільки процентів варіація результативної ознаки залежить від досліджуваного фактора.

Прибуток на 64,90% пояснюється витратами на маркетинг, і на 35,1% залежить від впливу неврахованих факторів.

Суттєвість коефіцієнта детермінації будемо перевіряти використовуючи критерій Фішера.

де h2 – коефіцієнт детермінації;

р – кількість параметрів рівняння;

n – обсяг вибірки.

Н0: Витрати на маркетинг суттєво на прибуток не впливають.

F0,95(1;23) = 4,28; Fh2 = 42,52987

Fh2 > F0,95

Отже гіпотеза Н0 відхиляється і приймається альтернативна гіпотеза.

Hа: Витрати на маркетинг суттєво впливають на прибуток.

Дослідивши зв’язки між цим двома факторами ми можемо сказати, що витрати на маркетинг суттєво впливають на прибуток.

Дослідимо вплив обсягу виробництва на прибуток.

Таблиця 3.2

Вихідні і розрахункові дані для обчислення парної кореляції між прибутком і обсягом виробництва

п/п

Прибуток

Обсяг виробництва

Розрахункові величини

Y

X2

X22

Y2

X2*Y

YX2

(Y-Yx)2

1

1123

60

3600

1261129

67380

38,2808

2,1293

2

459

11

121

210681

5049

40,5143

0,5995

3

648

12

144

419904

7776

40,5143

0,5995

4

1095

41

1681

1199025

44895

41,0106

1,6145

5

1376

50

2500

1893376

68800

40,7624

1,0454

6

1478

69

4761

2184484

101982

40,5143

0,5995

7

2186

81

6561

4778596

177066

41,5069

3,1221

8

1653

64

4096

2732409

105792

40,2661

0,2768

9

1084

40

1600

1175056

43360

38,5289

1,4667

10

995

29

841

990025

28855

38,2808

2,1293

11

894

28

784

799236

25032

37,2881

6,0118

12

889

31

961

790321

27559

40,0179

0,0773

13

730

38

1444

532900

27740

41,5069

3,1221

14

1139

44

1936

1297321

50116

39,7698

0,0009

15

1540

53

2809

2371600

81620

37,0399

7,2903

16

950

30

900

902500

28500

41,2588

2,3067

17

339

12

144

114921

4068

39,5216

0,0477

18

841

29

841

707281

24389

39,5216

0,0477

19

943

28

784

889249

26404

37,7844

3,8242

20

1176

35

1225

1382976

41160

41,7551

4,0607

21

399

11

121

159201

4389

40,5143

0,5995

22

2031

87

7569

4124961

176697

37,2881

6,0118

23

990

54

2916

980100

53460

42,0033

5,1224

24

843

46

2116

710649

38778

39,2468

1,9468

25

1127

56

3136

1270129

63112

38,2496

2,4611

Разом

3729,21

1997

160415

39755,99

79582,80

993,50

55,098

Перевіримо передумови:

Vx = 7,488%; Vy = 8,336%.

Варіація недостатня по ряду Х, і недостатня по ряду У.

2. gхmin = 1,818 < 3; gхmax = 1,524 < 3;

gymin = 2,035 < 3; gymax = 1,225 < 3.

Сукупність 25 підприємств є однорідною, як за ознакою Х так і за ознакою У. Для того щоб обґрунтувати вибір математичного рівняння побудуємо кореляційне поле. Прямолінійну форму зв’язку визначають рівнянням прямої лінії: yx =a0+a1x,

na0 + a1åxi = åyi

a0åxi + a1åxi2 = åxiyi

25a0 + 1997a1 = 993,5

1997a0 + 160415a1 = 79582,80

D = 22366; Da0 = 445450,9; Da1 = 5550,5, звідси знаходимо коефіцієнти регресії: a0 = 19,91643, a1 = 0,248167.

Отже, рівняння кореляційного зв’язку між прибутком і обсягом виробництва матиме такий вигляд:

yx = 19,91643 + 0,248167×х

В досліджуваній сукупності товариств із збільшенням обсягу виробництва на 1 тис. т. прибуток збільшується в середньому на 0,248 тис. грн. Параметр a0 як вільний член рівняння має тільки розрахункове значення.

Визначимо міру впливу фактора на результат. Для оцінки міри впливу фактора на результат обчислюють індекс кореляції який обчислюється як відношення двох дисперсій:

Також ще можна обчислювати коефіцієнт кореляції:

Коефіцієнт кореляції показує, що між обсягом виробництва і прибутком у досліджуваних підприємствах зв’язок прямий і слабкий.

h2 = Д = 20,08 %

Прибуток на 20,08% пояснюється впливом обсягом виробництва, і на 79,92% впливом неврахованих факторів.

Суттєвість коефіцієнта детермінації будемо перевіряти, використовуючи критерій Фішера.

Н0: Обсяг виробництва не впливає суттєво на прибуток.

F0,95(1;23) = 4,28; Fh2 = 5,781216

Fh2 < F0,95 Отже гіпотеза Н0 не відхиляється. Залежність між фактором і результатом є несуттєвою.

Ми дослідили вплив обсягу виробництва на прибуток і можемо зробити висновок – обсяг виробництва на прибуток майже не впливає.

Кореляція, за допомогою якої вивчається вплив на величину результативної ознаки двох і більше факторних ознак, називається множинною. Показники щільності зв’язку при множинній кореляції є парні, часткові і множинні (сукупні) коефіцієнти кореляції і множинний коефіцієнт детермінації.

Парні коефіцієнти кореляції використовують для вимірювання щільності зв’язку між двома досліджуваними ознаками без урахування їх взаємодії з іншими ознаками.

Часткові коефіцієнти кореляції характеризують щільність зв’язку результативної ознаки з однією факторною ознакою при умові, що інші факторні ознаки перебувають на постійному рівні.

Коефіцієнт множинної (сукупної) детермінації показує, яка частка варіації досліджуваного результативного показника зумовлена впливом факторів, включених у рівняння множинної регресії.

Основним показником щільності зв’язку при множинній кореляції є коефіцієнт множинної кореляції. Він повинен бути найбільшим серед всіх інших коефіцієнтів множинної кореляції.

Таблиця 3.3

Вихідні та розрахункові дані для обчислення множинної кореляції

п/п

Прибуток, тис. грн.

Витрати на маркетинг, тис. грн.

Виробництво, тис. т.

Розрахункові величини

Y

X1

X2

X12

X22

Y2

X1×X2

X1×Y

X2×Y

1

1123

12

60

144

3600

1261129

720

13476

67380

2

459

4

11

16

121

210681

44

1836

5049

3

648

5

12

25

144

419904

60

3240

7776

4

1095

13

41

169

1681

1199025

533

14235

44895

5

1376

14

50

196

2500

1893376

700

19264

68800

6

1478

14

69

196

4761

2184484

966

20692

101982

7

2186

19

81

361

6561

4778596

1539

41534

177066

8

1653

21

64

441

4096

2732409

1344

34713

105792

9

1084

15

40

225

1600

1175056

600

16260

43360

10

995

11

29

121

841

990025

319

10945

28855

11

894

14

28

196

784

799236

392

12516

25032

12

889

19

31

361

961

790321

589

16891

27559

13

730

4

38

16

1444

532900

152

2920

27740

14

1139

17

44

289

1936

1297321

748

19363

50116

15

1540

20

53

400

2809

2371600

1060

30800

81620

16

950

10

30

100

900

902500

300

9500

28500

17

339

6

12

36

144

114921

72

2034

4068

18

841

7

29

49

841

707281

203

5887

24389

19

943

6

28

36

784

889249

168

5658

26404

20

1176

18

35

324

1225

1382976

630

21168

41160

21

399

0

11

0

121

159201

0

0

4389

22

2031

33

87

1089

7569

4124961

2871

67023

176697

23

990

9

54

81

2916

980100

486

8910

53460

24

843

9

46

81

2116

710649

414

7587

38778

25

1127

9

56

81

3136

1270129

504

10143

63112

Разом

26928

309

1039

5033

53591

33878030

15414

396595

1323979

Середні

1077,12

12,36

41,56

201,32

2143,64

1355121

616,56

15863,8

52959,16

Перевіримо передумови:

1. Vx2 = 7,488 %; Vx1 = 14,536 %; Vy = 8,336 %.

Варіація достатня по ряду Х1, але недостатня по рядах Х2 і У.

2. gХ2min = 1,818 < 3; gХ2max = 1,524 < 3;

gХ1min = 1,71 < 3; gХ1max = 1,565 < 3

gymin = 2,035 < 3; gymax = 1,225 < 3.

Сукупність однорідна по всіх рядах розподілу.

Розглянемо лінійну множинну залежність:

Yх1х2 = а1 + а1x1 + а2x2, складемо і розв’яжемо систему нормальних рівнянь,

na0 + a1åx1 + a2åx2 = åy

a0åx1 + a1åx12 + a2åx1x2 = åyx1

a0åx2 + a1åx1x2 + a2åx22 = åyx2

25a0 + 173,1a1 + 1997a2 = 993,5

173,1a0 + 1223,87a1 + 13877,8a2 = 6946,14

1997a0 + 13877,8a1 + 160415a2 = 79582,8.

Для цього ми використаємо метод Жордана-Гаусса:

a0

a1

a2

1

25

173,1

1997

993,5

173,1

1223,87

13877,8

6946,14

1997

13877,8

160415

79582,8

1

6,924

79,88

39,74

0

25,3256

50,572

67,146

0

50,572

894,64

222,02

1

0

66,05365

21,38233

0

1

1,996873

2,651309

0

0

793,6542

87,93798

1

0

0

14,0635

0

1

0

2,430053

0

0

1

0,110801

a0 = 14,0635; a1 = 2,430053; a2 = 0,110801.

Рівняння залежності прибутку від витрат на маркетинг і обсягу виробництва:

Ух1х2 = 14,0635 + 2,430053×х1 + 0,110801×х2

Параметри a1, a2 – називаються частковими коефіцієнтами регресії. Вони показують пропорцію впливу даного фактора на результат при умові, що інші фактори зафіксовані на постійному середньому рівні. При додатковому збільшенню витрат на маркетинг прибуток збільшиться в середньому на 2,43 тис. грн., при умові що x2 не впливає на прибуток. При збільшенні обсягу виробництва на 1 тис. грн. прибуток збільшується на 0,11 тис. грн. незалежно від впливу витрат на маркетинг.

Обчислимо показники щільності зв’язку при множинній кореляції:

1. Прості або парні коефіцієнти кореляції.

Між прибутком і витратами на маркетинг:

ryx1 = 0,805615.

Між прибутком і обсягом виробництва:

ryx2 = 0,448182.

Між витратами на маркетинг і обсягом виробництва:

rx1x2 = 0,335974.

Обчислені парні коефіцієнти кореляції показують, що прибуток перебуває у щільному зв’язку з витратами на маркетинг (» 0,806), і у слабкому зв’язку з обсягом виробництва (0,448). Існує слабка залежність між факторними ознаками: витратами на маркетинг і обсягом виробництва.

2. Часткові крефіцієнти кореляції.

Між ознаками У та Х1 без урахування впливу ознаки Х2:

ryx1(x2) = 0,777974.

Між ознаками У та Х2 без урахування впливу ознаки Х1:

ryx2(x1) = 0,318129.

Ми бачимо, що витрати на маркетинг в більшій мірі впливають на прибуток.

3. Множинний коефіцієнт кореляції.

R = 0,827367

Д = R2 = 0,6845369 або » 68,45 %

Отже прибуток на 68,45 % обумовлений впливом витрат на маркетинг і обсягом виробництва, і лише на 31,55 % – впливом неврахованих факторів.

4. Часткові і множинний коефіцієнти детермінації.

dyx1 = 59,48 %

dyx2 = 8,97 %

Д = dyx1 + dyx2

Визначивши часткові коефіцієнти детермінації, ми можемо сказати, що прибуток у досліджуваних підприємствах на 59,48 % обумовлений витратами на маркетинг і на 8,97 % – обсягом виробництва.

Перевіримо суттєвість множинного коефіцієнта детермінації. Для цього використаємо F-критерій.

FR2=23,86937

F0,95(2;22)=3,44

FR2 > F0,95(2;22)

Фактичне значення перевищує критичне, тому суттєвість результативної ознаки з обома факторами доказана.

Перевіримо істотність коефіцієнта множинної кореляції за t-критерієм.

tR=R/SR=12,8486

SR=0,0644

t0,95=2,0739.

tR > t0,95, отже коефіцієнт множинної кореляції істотний.

Оцінимо суттєвість коефіцієнтів регресії за t-критерієм.

mа1=0,36969; t а1=6,573224.

mа2=0,0622; t а2=1,781362.

t0,95=2,0739.

t а1 > t0,95; t а2 < t0,95.

Ми оцінили суттєвість коефіцієнтів регресії і можемо сказати, що коефіцієнт а1 є достовірним, тобто суттєво впливає на прибуток, а коефіцієнт а2 не суттєво впливає на прибуток.

Список літератури

1. Герасименко С.С. Статистика: Підручник. – 2-е вид., перероб. і доп. – К.: КНЕУ, 2000, 467 с.

2. Іваненко А. П. “Аналіз фінансового стану підприємства”. – К.: КНУ, 1998 р., 249 с.

3. Бугуцький О.А., Опря А.Т. та інші / Під редакцією Бугуцького О.А. Сільськогосподарська статистика з основами економічної статистики. – К.: Вища школа. Головне вид-во, 1984. – 294 с.

4. Головач А.В. Статистика: Підручник. – К.: Вища школа, 1993. – 623 с.

5. Горкавий В.К. Статистика: Підручник. – К.: Вища школа, – 415 с.

6. Опря А.Т. Статистика: (з програмованою формою контролю знань). – К.: Урожай, 1996 – 448 с.

7. Статистичний щорічник України за 2001 рік / М-во статистики України: Відп. за вип. В.В. Самченко. – К.: Техніка, 2002. – 576 с.