Мінімізація затрат ресурсів у проектному менеджменті за допомогою циклічних мережевих моделей

Невизначеність при складанні календарних планів, наявність великої кількості робіт, учасників проекту і ресурсів; необхідність якісного планування; потреба в систематич­ному контролі за виконанням планів вимагають використання адекватних ефективних методів вирішення цього класу задач [1, 8].

Математичні методи моделювання процесів реалізації проектів, які використовувались до цього часу (класичні мережеві [2], узагальнені [3, 4], ймовірнісні [5] та стохастичні [7] мережеві моделі) не завжди є достатніми для опису модельованого процесу.

Запропонована модель проектного менеджменту є поєднанням узагальнених мережевих моделей з імовірнісними та стохастичними моделями, які достатньо враховують ризик та невизначеність при виконанні проекту. Циклічні мережеві моделі (ЦММ) є інструментом для опису управління розробкою складного проекту. ЦММ повніше описують процеси управління порівняно із традиційними мережевими моделями.

Їх використання спрямоване на складання якісних планів, а якість виконання проекту є головним показником його ефективності. Якість можна оцінити лише після завершення проекту: приблизно 40 % усіх проектів не доходять до завершення; половина виконаних проектів має дворазове перевищення бюджетних ресурсів; близько половини завершених проектів не задовольняють поставлених перед ними вимог [9].

У зв’язку з цим головними показниками при виконанні проекту виступають час його виконання, кількість необхідних ресурсів (час, персонал, обладнання, сировина), бюджетні ресурси. Крім того, необхідно враховувати ризики і невизначеності при виконанні проекту.

Нижче наводяться описи моделей задач формування оптимальних планів при виконанні проектів з використанням ЦММ.

Складний проект описується циклічною мережевою моделлю , яка складається з набору подій і дуг (m,n) (події m та ), які задаються матрицею суміжності: . , де задає визначену дугу (m,n), а описує подію m, яка з ймовірністю зв’язана дугою з подією n. Довжини дуг, або час здійснення подій , задовольняють наступним співвідношенням:

, (1)

де є взагалі випадковою величиною і може приймати як додатне, так і від’ємне значення.

або (2)

для деяких подій m, що визначаються директивними термінами.

Тут – математичне сподівання “додатної” частини контуру.

Співвідношення (1), (2) є узагальненням відповідних нерівностей при описуванні узагальнених мережевих моделей [4], де параметр і матриця суміжності M носять визначений характер. В цьому випадку часові обмеження і тривалості дуг є загалом випадковими величинами.

Р-квантильні оцінки тривалості робіт обчислюються за допомогою статистичних випробувань, тому що є статистичними аналогами часових показників мережевої моделі.

Передбачається, що роботи виконуються без перерв з постійною швидкістю. Нехай – інтенсивність споживання c-го ненакопичуваного ресурсу на роботі (m,n), тоді , – потреба в c-му ненакопичуваному ресурсі на роботі (m,n). Допустимо . Позначимо через – множину робіт, котрі споживають ресурс c, а через – множину робіт, котрі споживають ресурс c у момент часу t , тоді загальна потреба на всі роботи в c-му ресурсі дорівнює . Допустимо, що наявність ресурсів у кожен момент часу задано функцією . Позначивши – потребу в ресурсі c у момент часу t, отримаємо математичну модель задачі оптимального розподілу ненакопичуваних ресурсів, тобто визначення таких термінів початку і закінчення робіт (m,n) і , при яких

, для всіх дуг (m,n); (3)

, для всіх t і c; (4)

. (5)

Обмеження (3) відображає вимогу дотримання послідовності робіт, а обмеження (4) враховує наявність ресурсів, тобто в кожен момент часу потреба в ресурсі не повинна перевищувати його наявності. – термін здійснення завершальної події.

Аналогічна модель використовується для накопичуваних ресурсів і відрізняється від попередньої тільки видом обмеження (4), яке приймає вигляд:

, для всіх і ; (6)

тобто сумарна потреба в накопичуваному ресурсі від початку планового періоду до будь-якого моменту не повинна перевищувати сумарного обсягу поставок цього ж виду ресурсу за відповідний період.

Для обробки сформульованої моделі пропонується алгоритм, де замість детермінованих часових параметрів (ранні та пізні терміни здійснення подій, тривалості робіт і довжини дуг) використовуються їх р-квантильні аналоги

, , .

Поняття “обов’язкових” і “необов’язкових” робіт набору перетинається в теоретико-множинному змісті з поняттями р-квантильних критичної, проміжної і резервної зон, тобто насамперед на обслуговування ставляться “обов’язкові” роботи, які входять у р-квантильну критичну зону, потім “обов’язкові” роботи, що входять у р-квантильну проміжну зону, після чого “обов’язкові” роботи, що входять у р-квантильну резервну зону. “Необов’язкові” роботи набору розглядаються також у відповідності з чергою, встановленою по спаданню р-квантильних коефіцієнтів напруги .

Для набору дуг, що виходять з альтернативних вершин, обчислюється – середня інтенсивність споживання k-го ненакопичуваного ресурсу на наборі дуг; . Також для набору дуг обчислюється середній коефіцієнт напруги. Далі для включення в план розглядається робота, що виходить з альтернативної вершини m з обчисленими середніми характеристиками. Якщо ця робота ставиться на обслуговування, то .

У результаті роботи алгоритму ми одержуємо план із заданим рівнем ймовірності р. Збільшуючи кількість ітерацій N, підвищуємо надійність усіх р-квантильних оцінок і, отже, надійність одержаних варіантів плану.

Оптимальний розподіл ресурсів при заданому часі є задачею оберненою до розглянутої раніше. Як критерій оптимальності приймемо міру нерівномірності споживання ресурсів. Якщо D – задана довжина оптимальних дуг (час виконання програми), то – середня необхідна кількість ресурсу c за одиницю часу. Як міра нерівномірності споживання ресурсу c можуть бути обрані різні функції, наприклад:

, (7)

, (8)

, (9)

, (10)

, (11)

, (12)

де – якщо ,

– якщо .

тут – питомі затрати, зв’язані з перевищенням потреби ресурсу c над його наявністю (для ресурсів типу “потужності” – вартість понаднормового часу), – питомі затрати, зв’язані з надлишковою наявністю ресурсу c (для ресурсів типу “потужності” – вартість простою виконавців або устаткування).

Вибір критерію зв’язаний зі специфікою конкретної системи проектного менеджменту. Наприклад, вибираючи , ми припускаємо рівнозначність як додатних, так і від’ємних відхилень потреби в ресурсі c від його середньої потреби, а також еквівалентність двох відхилень за одною одиницею ресурсу одному відхиленню на дві одиниці. Критерій застосовується у випадку, коли такі відхилення не еквівалентні (затрати, зв’язані з відхиленням середньої потреби в ресурсі c від його потреби у кожен момент часу, пропорційні квадрату відхилення), подібний до , тільки відхилення обчислюються не від середньої потреби, а від наявності ресурсу c. Критерій доцільний при оцінці додатних або від’ємних перевищень. Критерій , який характеризує найбільше щоденне споживання ресурсу c, часто використовується при управлінні ізольованим проектом, зокрема, при складанні проекту організації побудови окремого об’єкта чи комплексу робіт.

План виконання робіт проекту, що оптимально використовує певний ресурс c, може бути дуже далекий від оптимального з використання іншого ресурсу. У зв’язку з цим будемо розглядати цільові функції у вигляді , де – ваговий коефіцієнт, що характеризує важливість c-го виду ресурсу. .

Таким чином, математична модель задачі мінімізації потреби в ресурсах при визначеному часі виконання проекту визначає такі терміни початку і закінчення робіт (m,n) і , що

, для всіх дуг (m,n); (13)

, для всіх t і c; (14)

. (15)

Для обробки сформульованої моделі пропонується алгоритм, в якому замість детермінованих часових параметрів, якими є ранні та пізні терміни здійснення подій, тривалості робіт і довжини дуг, використовуються їх р-квантильні аналоги , , .

Для перерахунку плану ранніх чи пізніх термінів застосовується алгоритм описаний в математичній моделі скорочення часу виконання проекту при ресурсних обмеженнях.

За бажанням користувача вибирається один з варіантів цільової функції , m = 1, 2, …, 6 . Оптимальні плани, отримані за різними критеріями, служать підставою для ухвалення ефективного рішення менеджером проекту.

Роботи, що потрапили в моменти часу, де функціонал приймає максимальне значення, сортуються за спаданням р-квантильних коефіцієнтів напруги .

Роботи вибираються з черги в межах р-квантильних оцінок їхніх резервів, обчислених за відповідними формулами з [3].

Для набору дуг, що виходять з альтернативних вершин, обчислюється – середня інтенсивність споживання c-го ненакопичуваного ресурсу на наборі дуг . Також для набору дуг обчислюється середній коефіцієнт напруги. Далі для включення в план розглядається робота, яка виходить з альтернативної вершини m з обчисленими середніми характеристиками. Якщо ця робота ставиться на обслуговування, то .

У результаті роботи алгоритму ми одержуємо план із заданим рівнем ймовірності р. Збільшуючи кількість ітерацій N, підвищуємо надійність усіх р-квантильних оцінок і, отже, надійність одержаних варіантів плану.

Задачі розподілу обмежених ресурсів на ЦММ розглядалися для випадку постійної інтенсивності виконання робіт. У цьому випадку кількість ресурсів, що використовувалась на кожній роботі ЦММ, була заданою наперед і постійною. У даному пункті припустимо змінну інтенсивність виконання роботи або її частини, а, отже, можливість зміни кількості призначених на неї ресурсів.

Оскільки при описі проекту за допомогою ЦММ ми використовуємо узагальнені зв’язки, що дають змогу виділяти не тільки початки і закінчення робіт як події, але й проміжні стани робіт, то наведена нижче постановка дає змогу реалізувати дві додаткові можливості: вибір інтенсивності виконання всієї роботи ЦММ у заданих межах; зміну інтенсивності виконання окремих частин роботи.

Математична модель задачі розподілу обмежених ресурсів на ЦММ зі змінною інтенсивністю робіт визначає такі терміни початку і закінчення робіт (m,n) і , що

, для всіх дуг (m,n); (16)

, для всіх робіт чи частин робіт (m,n); (17)

, для всіх t і c; (18)

, для всіх і ; (19)

. (20)

Співвідношення (16) задають взаємозв’язки між усіма подіями мережі, включаючи дуги-зв’язки, дуги-роботи і абсолютні часові обмеження.

Співвідношення (17) забезпечують відповідні межі змінної тривалості роботи або її частин, обумовлених формулами: та , де і – відповідно мінімальна та максимальна інтенсивності споживання с-го ненакопичуваного головного ресурсу на роботі (m,n), – трудомісткість виконання роботи (m,n) по головному ресурсу c. Головним ресурсом виступають тільки нескладовані ресурси кількість яких визначає тривалість роботи.

Обмеження (18) враховує обмеженість ненакопичуваних ресурсів, тобто в кожен момент часу потреба в ресурсі c не повинна перевищувати його наявності.

Обмеження (19) задає умову – сумарна потреба в накопичуваному ресурсі від початку планового періоду до будь-якого моменту не повинна перевищувати сумарного обсягу поставок цього ж виду ресурсу за відповідний період.

Цільова функція (20) забезпечує побудову плану з максимально можливою інтенсивністю виконання робіт.

Реалізація моделі для ЦММ забезпечується алгоритмом, в якому часовий розрахунок ЦММ виконується за допомогою модифікованого алгоритму, описаного в мінімізації потреби в ресурсах при визначеному часі виконання проекту. Потім формуємо набір робіт, де ранніми термінами здійснення подій, що є початками робіт, беремо їх р-квантильні оцінки . Роботи наборів і впорядковуються по спаданню р-квантильних коефіцієнтів напруги . З черги вибираються роботи в межах р-квантильних оцінок їх резервів, обчислених за відповідними формулами з [1]. Для набору дуг, що виходять з альтернативних вершин, обчислюється – середня інтенсивність споживання c-го ненакопичуваного ресурсу на наборі дуг . Також для набору дуг обчислюється середній коефіцієнт напруги. Далі для включення в план розглядається робота, яка виходить з альтернативної вершини i з обчисленими середніми характеристиками.

Після цього потрібно перерахувати і замінити ранні та пізні терміни здійснення подій і резервів робіт їх р-квантильними оцінками. У кінці проводиться часовий перерахунок плану ранніх термінів.

Позначимо через – мінімально можливий час виконання роботи (m,n), якому відповідають затрати , і через – максимально можливий час виконання роботи (m,n), якому відповідають затрати . Величини і визначаються виходячи з максимальної і мінімальної величин головного ненакопичуваного ресурсу, які потенційно можуть бути задіяні на роботі (m,n). Беручи до уваги можливі збої в роботі обладнання, зміни продуктивності праці виконавців, а також інші непередбачені затрати, вважаємо вищенаведені параметри випадковими величинами з заданими законами розподілу. Також передбачається, що прискорення роботи зв’язане з додатковими затратами (на залучення додаткової робочої сили та обладнання, понаднормові доплати тощо).

Маємо: , , (21)

де – затрати, що відповідають часу виконання .

Задавши деякий рівень значимості р, виконуємо імітаційне моделювання вищеописаних параметрів, одержуючи їх р-квантильні оцінки – , , , . Аналіз деяких проектів науково-дослідних робіт, побудови складних об’єктів показав обґрунтованість використання для цих параметрів бета-розподілу при двохоціночній методиці [5].

Вважаємо, що залежність витрат від часу виконання лінійна, тобто

Звідси, використовуючи формули (21) для р-квантильних оцінок, одержуємо вираз для коефіцієнта пропорційності

. (22)

Таким чином, з імовірністю р характеризує затрати, зв’язані із скороченням тривалості роботи на одиницю часу. Будемо називати – “р-ціною” скорочення роботи на одиницю часу.

Якщо на всіх роботах прийняти , то буде отримано найменший критичний час . Цьому часу відповідають найбільші затрати, рівні . Якщо на всіх роботах прийняти , то ми одержимо мережевий графік, якому відповідають найменші затрати, рівні , і найбільший критичний час: .

При найменшому критичному часі можна зменшити затрати, якщо продовжити некритичні роботи за рахунок повного використання їх р-квантильних резервів часу. Збільшення на одиницю знижує її вартість на . Позначимо отримані затрати через , тоді можемо стверджувати, що для мінімальна вартість дорівнює , і, у загальному випадку, для кожного одержуємо план з мінімальними затратами . Маючи графік оптимальної залежності вартості проекту від тривалості його виконання, з одного боку, визначаємо мінімальну вартість проекту при будь-якому можливому часі його виконання, а з іншого – знаходимо мінімальну тривалість виконання проекту при заданій його вартості. За допомогою функції можна також оцінити додаткові затрати, зв’язані зі скороченням термінів завершення проекту.

Якщо затрати лінійно залежать від тривалості робіт, то визначення зводиться до створення математичної моделі, яка визначає такі тривалості робіт, , що

, для всіх робіт (m,n); (23)

, (24)

, (25)

, (26)

що еквівалентно . (27)

Для реалізації цієї моделі пропонується використовувати модифікацію алгоритму Фалкерсона, що базується на використанні теореми про мінімальний розріз і максимальний потік [7]. Суть модифікації в заміні параметрів , , , на їх р-квантильні оцінки – , , , . Далі алгоритм використовується без змін. При визначенні інвестиційної політики вищенаведений модифікований алгоритм дає змогу із заданим рівнем значимості р визначати оптимальні варіанти фінансування проекту в умовах ризику і невизначеності.

Таким чином, розглянуті нами методи ресурсно-часового аналізу можуть ефективно застосовуватися в проектному менеджменті. За допомогою ЦММ можна врахувати характер як технології проведення робіт, так і способів призначення ресурсів на роботи, зробити оптимальне призначення ресурсів із оптимальними темпами їх використання.

У випадку, якщо об’єктом управління є комплекс проектів, або коли потрібно кожен проект окремо і комплекс проектів загалом реалізувати в максимально стислі терміни, то можна будувати стислі плани для кожного проекту, а потім для комплексу в цілому.

Побудова оптимальних календарних планів реалізації проектів, а також оптимального зведеного плану для комплексу проектів, зроблена згідно з алгоритмами, викладеними вище, дає змогу визначити оптимальні потреби в ресурсах (у тому числі бюджетних), графіки призначень виконавців, використання обладнання, графіки потреби матеріальних ресурсів. Періодична актуалізація вихідних даних дає можливість уточнювати ці потреби і графіки, тобто знижувати рівень невизначеності, і створює необхідні передумови для виконання проектів у стислий час та інтенсифікації процедур реалізації проектів у плані “час-ресурс-вартість”, які є трьома головними критеріями перевірки якості складання планів.

Література:

1. Воропаев В.И. Управление проектами в России. – М.: Аланс, 1995. – 225 с.

2. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Кн. 1.: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 479 с.

3. Воропаев В.И., Лебедь Б.Я., Нудельман М.П., Орел Т.Я. Задачи и методы временного анализа календарных планов на обобщенных сетевых моделях. //Экономико-математические методы и АСУ в строительстве. – М.: НИИЭС, 1986. – 95 с.n

4. Воропаев В.И. и др. Методические рекомендации по ресурсному анализу календарных планов на основе обобщенных сетевых моделей. –М.: ЦНИИЭУС, 1990. – 86 с.

5. Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. – М.: Наука, 1969. – 400 с.

6. Трілленберг В. Проектний менеджмент: Конспект лекцій і семінарів. – Тернопіль: Економічна думка, 2002. – 96 с.

7. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. – М.: Мир, 1965.

8. A Guide to the Project Management Body of Knowledge. Project Management Institute, 1996. – 276 p.

9. David I. Cleland, Lewis R. Ireland. Project Management: Strategic Design and Implementation. 4th edition. McGraw-Hill Professional; 2002. – 656 p.

10. Kerzner H. Project Management: A systems approach to planning, scheduling, and controlling. 5th edition. New York, Van Nostrand Reinhold, 1997. – 800 p.

11. Turner R.J. The Handbook of Project-Based Management. New York, N.Y.: McGraw-Hill, 1997. – 560 p.