Практичне використання математичних методів моделювання складних економічних систем

Монотонним ланцюжком називається монотонно неспадна траєкторія кусково-лінійного процесу.

На рис. 1 в інтервалі зображено перший монотонний ланцюжок, а в інтервалі - другий монотонний ланцюжок.

При моделюванні об’єктів з рідкісними подіями відповідні їм траєкторії випадкового процесу є, як правило, немонотонними (ймовірність появи монотонного ланцюжка – мала величина, близька до нуля). Тому при побудові монотонних ланцюжків застосовують прийом умовних функцій розподілу мінімуму.

Нехай маємо кусково-лінійний процес :

,

де - незалежні кусково-лінійні процеси

,

- час перебування процесу в стані .

Позначимо через випадковий вектор

,

а через - вектор , для якого виконується умова

.

Це означає, що в момент рівно випадкових процесів з множин знаходяться в стані 1, а решта – в стані 0. Сукупність векторів утворюють множину особливих станів. Ставиться задача знаходження ймовірності попадання процесу в множину за час .

Якщо - мала величина, то користування при моделюванні функціонування систем індикаторним підходом є недоцільним, оскільки серед величезного числа траєкторій з’являється лише невелике число траєкторій, що попадають в множину .

Суть методу монотонних ланцюжків стосовно розв’язання поставленої задачі заключається в слідуючому. Спочатку будується траєкторія процесу безпосереднім чином (тобто без використання умовних функцій розподілу мінімуму). Для конкретності, і без позбавлення загальності, можна припустити, що реалізувалась -та траєкторія, зображена на рис. 2. Це означає, що за час траєкторія не попала в множину , тобто , а .

Тоді в інтервалах неперервності з допомогою умовних функцій розподілу мінімуму будуються монотонні ланцюжки , відповідно (див. рис. 3). Позначимо ймовірність появи 1-го ланцюжка через , і розглянемо дві протилежні події :

для яких виконуються співвідношення

.

Враховуючи це, ймовірність попадання в інтервалі в множину можна визначити за формулою

, (1)

де - ймовірність попадання траєкторії в інтервалі в множину безпосереднім чином (тобто без використання якого-небудь методу):

Припустимо, що . Тоді не було б сенсу будувати монотонний ланцюжок і знаходити ймовірність , що видно з (1):

.

Тому цікавим є випадок, коли . Дійсно, оскільки траєкторія , не попала в множину , то в інтервалі розглядається ланцюжок і відповідна йому ймовірність

,

де - дві протилежні випадкові події:

,

,

Через вказані ймовірності має вигляд:

, (2)

Підставимо (2) в (1) так:

. (3)

В цьому співвідношенні - ймовірність попадання траєкторії в інтервалі в множину безпосереднім чином:

Якщо виникло таке попадання, то (3) набуває вигляду:

.

і на цьому моделювання траєкторії припиняється. Припустимо (і це видно з рис. 2), що виконується умова

.

Тоді ймовірність має вигляд:

, (4)

а ймовірність приймає вигляд

, (5)

де - ймовірність появи ланцюжка , а - ймовірність появи ланцюжка . Якщо по аналогії з попередніми ланцюжками розглянути останній ланцюжок і зв’язані з ним ймовірності, то після простих перетворень отримаємо

, (6)

де - ймовірність виникнення ланцюжка . Для того, щоб підкреслити залежність ймовірності (6) від -ї траєкторії , перепишемо її у вигляді

. (7)

Статистична оцінка ймовірності попадання процесу в множину за час обчислюється за формулою

. (8)

Ця оцінка є незміщеною, тобто , і ефективною, що випливає з методу її обчислення.

Для більш глибокого засвоєння викладеного вище методу розглянемо гіпотетичну модель частини виробництва, і побудуємо для неї математичну модель в вигляді кусково-лінійного процесу, а потім змоделюємо його траєкторію з використанням методу монотонних ланцюжків.

Розглянемо наступний приклад. Є один основний і два резервні генератори для забезпечення нормальної роботи високоефективного підприємства. В результаті відмови основного генератора, підключається один з резервних, після чого останній становиться основним, а той, що відмовив, починає відновлюватися, і потім відправляється в резерв. У випадку, коли всі генератори є непрацездатні, підприємство перестає функціонувати, що впливає на його прибуток. Треба визначити ймовірність того, що протягом фіксованого проміжку часу підприємство не буде припиняти свою роботу через відмову генераторів.

Моделлю функціонування підприємства є кусково-лінійний процес

,

усі компоненти якого однакові й інтерпретуються таким чином:

,

де

а неперервні компоненти задаються функціями розподілу

,

в залежності від того, дорівнює 0 чи 1, відповідно.

Нехай множина особливих станів :

,

складається з єдиного вектора . Припустимо, що на початку функціонування системи всі генератори знаходяться в робочому стані, а основним є 1-й генератор. Для знаходження вказаної характеристики скористаємось методом монотонних ланцюжків.

На першому кроці змоделюємо траєкторію безпосереднім чином. Це означає побудову траєкторії без використання умовних функцій розподілу мінімуму. Припустимо, розвиток траєкторії проходив так, що в результаті відмовив 1-й генератор і не встиг відновитися до моменту (див. рис. 4).

Розглянемо два інтервали неперервності: , і побудуємо на кожному з них монотонні ланцюжки і , відповідно.

Перший монотонний ланцюжок буде складатися з трьох стрибків „вверх”, доки не досягне рівня (тобто до попадання в множину ), а другий – з двох стрибків „вверх”, починаючи з уже реалізованої „сходинки” (див. рис. 5).

Алгоритм моделювання складається з таких етапів. В інтервалі знаходиться перший момент появи умовного мінімуму. Оскільки початок функціонування системи співпадає з початком роботи 1-го генератора, то умовна функція розподілу мінімуму в інтервалі приймає вигляд:

.

Починаючи з моменту згідно умови задачі 1-й генератор відправляється на відновлення, а один із запасних генераторів включається в роботу. Тривалість відновлення визначається функцією розподілу , а номер нового основного генератора можна, наприклад, знайти з допомогою закону розподілу ймовірностей

.

При виборі генератора із запасу керувались тривалістю його відновлення. Причому меншому часу відновлення відповідає більша інтенсивність , а значить і більша ймовірність . Так що врешті решт частіше вибирається із запасу генератор, який швидше відновлюється. Логічно було б при виборі генераторів із запасу керуватися й іншим принципом – їхніми інтенсивностями відмови . В такому разі закон розподілу ймовірностей мав би вигляд

.

Згадані принципи можна комбінувати в залежності від класу досліджуваних систем і типу знаходжуваних характеристик.

Нехай , що означає включення в роботу 3-го генератора як основного, а тривалість відновлення 1-го генератора визначається інтервалом

.

Для обчислення наступного „вузлового” моменту монотонної зміни траєкторії (це означає, що повинен бути моментом стрибка „вверх”, а не „вниз”), необхідно розглядати його появу в інтервалі неперервності . Цей момент визначається умовною функцією розподілу мінімуму.

,

після чого наступає відмова 3-го генератора тривалістю :

,

протягом якого повинна виникнути відмова 2-го генератора, що почав функціонувати в момент . Згідно функції

,

остання відмова наступає в момент попадання монотонного ланцюжка в множину . На цьому алгоритм визначення ймовірності появи монотонного ланцюжка закінчується, а її значення обчислюється за формулою

.

Аналогічно можна знайти ймовірністьпояви другого монотонного ланцюжка за формулою (див. рис.5)

.

(тут припускається, що відмова починається з 2-го генератора). Тоді ймовірність того, що підприємство зупинить свою роботу в інтервалі із-за відмов генераторів з урахуванням побудованої траєкторії (позначимо її номером ) можна обчислити за формулою (див. (7)):

.

Для отримання статистичної оцінки вказаної ймовірності необхідно скористатися формулою (8), а для визначення статистичної оцінки ймовірності безперебійної роботи підприємства протягом часу можна використати формулу

. (9)

Список літератури

1. Е. В. Бережная, В. И. Бережной Математичиские методы моделирования экономических систем. Учеб пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.: ил.

2. Кривуца В.Г., Довгий С.О., Олешко Т.І. Теорія імовірностей. – К.: ІМЗН, 1997.

3. Кривуца В.Г., Довгий С.О. Економіко-математичне моделювання. – К.: НАУ – с.200.